背包（或分区）算法的变体

Question

我遇到的问题如下：

给定一个包含 N 个项目的队列，每个项目都有一个权重，以及 K 个容器的队列。我们需要按照物品来的顺序将物品分配到容器中。例如，第一个项目只能进入第一个容器，第二个项目可以进入第一个或第二个但不能进入第三个（否则第二个容器将没有任何项目）。

我需要创建并实现一种算法来实现某种均匀分布，因此最重的容器必须尽可能轻巧；给出具有这种重量的容器的数量。

我想这是 3 分区或背包问题的一些变体。我已经使用动态编程实现了一种可能的分发解决方案，并尝试从其中使用的表中获取计数。但它不够有效（内存太贵），并且获取容器数量的算法不正确。

有人可以解释一下，哪种算法可以解决这个问题？

Answer 1

所以OP的问题一般可以通过this question中给出的DP算法来解决。为了完整起见，我将在这里重复它的症结：

假设 d[i][j] 是当我们有项目 s[1], .., s[i] 时问题的解决方案 和 j 个容器。那么：

1. d[0][j] = 0 对于每个 j
2. d[i][1] = Sum(s[1], ..., s[i]) 每个我
3. d[i][j] = min(max(d[it][j-1], Sum(s[i-t+1], ..., s[i]) 1

但是，简单的实现会消耗 O(NK) 空间，这太多了。幸运的是，看（3）：d[_][j]的值只取决于d[_][j-1]。这意味着一旦我们计算完所有d[_][j]，我们就可以使用我们用来存储d[_][j-1] 的空间来存储我们即将计算的d[_][j+1] 的值。

由于d[0][j] 的值全为零，我们也不需要存储这些值。因此，我们需要存储的唯一数组是 O(N) 大小的 d[i][1]、保存 j-1th 迭代结果的 O(N) 大小的数组，以及 O(N) 大小的数组保存我们当前正在计算的jth 迭代的结果。总计：O(N)。

编辑：所以第一次，我实际上并没有回答 OP 关于如何计算最大重量的容器数量的问题。假设w[i][j] 持有i,jth 问题的最大重量，c[i][j] 是与最大重量匹配的容器数量。那么：

1. c[0][j] = j 和 w[0][j] = 0 对于每个 j
2. c[i][1] = 1 和 w[i][1] = Sum(s[1], .., s[i]) 对于每个 i
3. 让u 等于上面 pt (3) 中选择的t。
   • 如果d[i-u][j-1] > Sum(s[i-u+1], .., s[i])：
     • 然后c[i][j] = c[i-u][j-1] 和w[i][j] = w[i-u][j-1]
     • 因为重量为Sum(s[i-u+1], .., s[i] 的jth 容器比重量为d[i-u][j-1] 的容器1, .., j-1 中最重的容器轻。
   • 如果d[i-u][j-1] < Sum(s[i-u+1], .., s[i])：
     • 然后c[i][j] = 1 和w[i][j] = Sum(s[i-u+1], .., s[i])
     • 因为带有项目s[i-u+1], .., s[i] 的jth 容器是新的最重的容器。
   • 如果如果d[i-u][j-1] == Sum(s[i-u+1], .., s[i]):
     • 然后c[i][j] = c[i-u][j-1]+1 和w[i][j] = d[i-u][j-1]
     • 因为jth 容器与之前最重的容器重量相同。

同样，我们只需要使用恒定数量的 O(N) 大小的数组，整个时间为 O(N)。