面试中的动态规划算法[关闭]

Question

这个问题是在一次采访中问我的，很尴尬地暴露了我在动态规划方面的不足。如果有人能帮我破解这个，我将不胜感激。此外，如果您可以在设计解决方案的过程中解释您的思维过程，这对我（和其他人）将非常有帮助，因为当我看到使用动态编程范式但难以实现的解决方案时，我似乎能够理解和我自己的一样。

事不宜迟，下面是我被问到的问题。

给定一个整数i，并在实线上设置k点x1，x2，...xk中的X，从集合X中选择i点，以便使用动态规划最小化从X 中的每个点到i 中的点的距离总和。

Answer 1

对于大多数 DP 问题，我尝试找到一种归约与征服的关系。也就是说，我可以通过每一步减少问题大小的关系（如分而治之，但通常不会划分问题，它只是删除一小部分）。在这个问题中（像许多其他问题一样），我们可以做一个非常简单的观察：第一个点要么在i 点的集合中，要么不在。

一些符号：假设 X = {x₁, x₂, ..., x_k}，并表示约简设置 X_n = {x_n, x_n+1, ..., x_k}。

所以观察结果是 x₁ 是i 点之一，或者不是。让我们调用我们的i-set 查找函数 MSD(i,X_k)（最小距离总和）。我们可以如下表达该切面观察：

MSD(i,X_k) = MSD(i-1,X_k-1) U {x₁ } 或 MSD(i,X_k-1)

我们可以通过实现一种检查这两个选项中的哪一个的简单方法来形式化“非此即彼”部分：我们遍历集合 X 并计算距离之和，然后检查哪个实际上更小。此时我们注意到，该检查的运行时间为ki，因为我们将天真地遍历每个k 点并获取与i 大小集合中的点的最小距离。

我们对基本情况做了两个简单的观察：

MSD(i,X_i) = X_i
MSD(0,X_n) = {}

首先，当在一组大小为i 中寻找i 点时，我们显然只取整个集合。
第二个是当在集合中没有点时，我们返回空集合。这以归纳方式确保 MSD 返回大小为 i 的集合（根据我们上面对 MSD 的定义，i=0 和归纳为 true 的情况是正确的）。

就是这样。这将找到合适的集合。 运行时复杂度的上限是 O(ik * step)，其中 step 是我们从上面检查的 O(ik)。这是因为 MSD 将在 0-i 和 X₁ - X_k 范围内的参数上运行，这是 ik 可能的参数的总数。

这让我们的运行时间为 O((ik)²)。

以下部分是基于我对 OP 问题的理解。我不确定 X 中每个点与 i 大小子集的距离是否是子集中每个点与 每个其他点 的距离之和，或者是距离之和X 中的每个点来自子集本身。
IE。 X 中 x 的 sigma（x 到子集中每个点的距离总和）或 X 中 x 的 sigma（x 到子集的距离，即从 x 到子集中任何点的最小距离）

我假设是后者。

我们可以通过优化上面的O(ik) 检查来减少运行时间。我们注意到元素实际上是排序的（尽管在当前符号中以相反的顺序），因为当我们添加它们时，我们总是从右侧进行。假设它们一开始就被分类，它们将一旦脱离 MSD 例程。如果一开始没有对它们进行排序，我们可以对它们进行排序，无论如何这只会花费O(klogk)。

排序后，检查每个点与集合中一个点的距离将为k * logi，因为我们对每个点进行二分搜索。这会产生O(ik * klogi + klogk)
的总运行时间 = O(k² * ilogi).

最后，我们可以将其表示为 O(k³logk)。不是最快的解决方案，而是一个解决方案。

我确信还有更多优化，但这是我的 2c。