可能重复：
Dynamic programming and memoization: top-down vs bottom-up approaches
我已经阅读了很多关于此的文章，但似乎无法理解。有时递归和动态编程看起来一样，而在其他时候，记忆化和动态编程看起来很相似。谁能给我解释一下有什么区别？
附：如果您可以在同一问题上使用这三种方法向我指出一些代码，那也会很有帮助。 （例如斐波那契数列问题，我想我读的每一篇文章都使用了递归，但将其称为动态规划）
【问题讨论】：
标签： algorithm recursion dynamic-programming memoization
递归与记忆和动态编程绝对无关；这是一个完全独立的概念。
否则，这是一个重复的问题：Dynamic programming and memoization: bottom-up vs top-down approaches
【讨论】：
我相信您可以在互联网上找到详细的定义。这是我试图简化的尝试。
递归再次调用自己。
动态规划是一种解决具有特定结构（最佳子结构）的问题的方法，其中问题可以分解为与原始问题相似的子问题。显然，可以调用递归来解决 DP。但这不是必需的。无需递归即可解决 DP。
Memoization 是一种优化依赖递归的 DP 算法的方法。重点不是再次解决已经解决的子问题。您可以将其视为子问题解决方案的缓存。
【讨论】：
嗯，递归+记忆正是动态编程的一种特殊“风味”：按照自顶向下方法的动态编程。
更准确地说，不需要专门使用递归。任何与记忆相结合的分治解决方案都是自上而下的动态编程。 （递归是分治法的 LIFO 风格，而您也可以使用 FIFO 分治法或任何其他类型的分治法）。
所以这样说更正确
divide & conquer + memoization == top-down dynamic programming
此外，从非常正式的角度来看，如果您为一个不会产生重复的部分解决方案的问题实施分而治之的解决方案（这意味着记忆化没有好处），那么您可以声称这种分而治之的解决方案解决方案是“动态规划”的退化示例。
然而，动态规划是一个更普遍的概念。动态编程可以采用自底向上的方式，不同于分治+记忆。
【讨论】：
考虑计算斐波那契数列：
纯递归：
int fib(int x)
{
if (x < 2)
return 1;
return fib(x-1) + fib(x-2);
}
导致调用次数呈指数级增长。
使用 memoization/DP 进行递归：
int fib(int x)
{
static vector<int> cache(N, -1);
int& result = cache[x];
if (result == -1)
{
if (x < 2)
result = 1;
else
result = fib(x-1) + fib(x-2);
}
return result;
}
现在我们第一次有线性调用次数，之后保持不变。
上述方法称为“懒惰”。我们在第一次被要求时计算较早的术语。
以下也将被视为 DP，但没有递归：
int fibresult[N];
void setup_fib()
{
fibresult[0] = 1;
fibresult[1] = 1;
for (int i = 2; i < N; i++)
fibresult[i] = fibresult[i-1] + fibresult[i-2];
}
int fib(int x) { return fibresult[x]; }
这种方式可以被描述为“渴望”、“预缓存”或“迭代”。它总体上更快，但我们必须手动找出需要计算子问题的顺序。这对于斐波那契来说很容易，但对于更复杂的 DP 问题，它会变得更难，所以如果它很快，我们就会退回到惰性递归方法够了。
以下既不是递归也不是DP：
int fib(int x)
{
int a = 1;
int b = 1;
for (int i = 2; i < x; i++)
{
a = a + b;
swap(a,b);
}
return b;
}
它使用恒定空间和线性时间。
为了完整起见，我还要提到斐波那契的封闭形式，它使用下界递归或 DP，它允许我们使用基于黄金比例的数学公式在恒定时间内计算斐波那契项：
http://www.dreamincode.net/forums/topic/115550-fibonacci-closed-form/
【讨论】：
f(3)，然后再次调用f(3)，则只有第一次进行计算，第二次调用从首先。这通常被认为是 DP 的一种形式。
它们是不同的概念。它们经常重叠，但它们是不同的。
只要函数直接或间接调用自身，就会发生递归。就这些了。
例子：
a -> call a
a -> call b, b -> call c, c -> call a
Dynamic programming 是指您使用解决方案来解决较小的子问题以解决较大的问题。这是最容易递归实现的，因为您通常会根据递归函数来考虑此类解决方案。不过，通常首选迭代实现，因为它需要更少的时间和内存。
Memoization 用于防止递归 DP 实现花费比需要更多的时间。大多数时候，DP 算法在解决多个大问题时会使用相同的子问题。在递归实现中，这意味着我们将多次重新计算同一事物。记忆意味着将这些子问题的结果保存到一个表中。当进入一个递归调用时，我们检查它的结果是否存在于表中：如果存在则返回，如果不存在则计算它，保存在表中，然后返回。
【讨论】：