达到游戏结束的最小步骤

Question

我正在编写一个非常简单的游戏。

• 给定 n 块有 k 种颜色的积木放在一个圆圈中
• 如果砖块被移除，与之相邻且颜色相同的砖块将被移除。
• 每走一步，玩家只能移走一块砖（但如果旁边有一块颜色相同的砖，则不计步）
• 如果所有积木都被移走，游戏结束

如何获得到达游戏结束所需的最少步数？ （我目前的解决方案是回溯，正在考虑动态规划）

示例：

4 bricks with 3 colors R, G, B place like this:
R G B B G R B G B R R G (R) (let number it 0, 1, 2, ...)

Remove 2 -> 3 will be removed (step = 0)
R G <B> <B> G R B G B R R G

Remove 0 (step = 1)
<R> G * * G R B G B R R G

Remove 4 -> 1, 11 will be removed (step = 1)
* <G> * * <G> R B G B R R <G>

Remove 10 -> 9, 5 will be removed (step = 1)
* * * * * <R> B G B <R> <R> *

Remove 7 (step = 2)
* * * * * * B <G> B * * *

Remove 8 -> 6 removed -> end game, step = 2, minimal
* * * * * * <B> * <B> * * *

真的对不起我的英语

Answer 1

O(N³) 复杂度的解决方案在哪里。

动态规划。要了解它是如何工作的，并且确实如此，请考虑一些删除所有块的序列。现在让我们标记所有后续块，一步一步删除。我们将在初始圆圈上标记它们。每个步骤都可以标记为一段相同颜色的块（之前删除了所有不同的块）。下面是您的示例的此类图片：

initial: RGBBGRBGBRRG
step 1:    BB
step 2:  R
step 3:  -G--G      G
step 4:  -----R   RR-
step 5:  ------B B---
step 6:         G

每个“段”要么不相交，要么前面的段完全在后面的段中。因此，有一种方法可以在某个时候打破循环。在您的示例中，它可以在第 5 和 6 块（或 6 和 7 块）之间完成。

现在您可以看到解决方案的结构 - 我们必须知道完全删除一些连续块的最小步骤数，而不是块的圆圈。为此，我们将有一个动态编程F(i,j)="从 i 到 j 完全删除块所需的最小步骤数"。请注意，可能有j < i，这意味着该段越过初始块中的边缘（如上图中的步骤5）。如果我们可以计算出F，那么答案将是所有F(i, (i+n-1)%n) for i=0..n-1中的最小值。

基础很明显，空段（j == i-1）需要0步，一个块段（i==j）需要1步。

剩下的就更难了。考虑段中的第一个块。 它是在某个步骤中删除的某些块段的开始。它必须在相同颜色的块的某处结束。因此，我们有：

F(i,j) = min{G(i,t)+F(t+1,j) },  i<=t <= j, blocks t and i have the same color

这里，G(i,j) 是另一个动态规划，给出了“从 i 到 j 删除所有块需要多少步，在最后一步同时删除块 i 和 j”的答案。请记住，这里的方块是成直线的，而不是圆的。

我们尝试将t 作为段的结尾，因此我们需要G(i,t) 步骤来删除所有这些块。我们需要另一个F(t+1,j) 步骤来删除所有其他块。

G 与F 具有相同的基数。现在回头看看上面的图片。片段中的最后一步可能不仅包含两个块 i 和 j（如步骤 3）。它可能有一些中间块。我们将尝试所有可能的中间块：

G(i,j) = min{F(i+1, t-1)+G(t, j)}, i < t <= j, blocks t and i have the same color.

这里发生了什么？我们认为块t 是最后一个删除块的行中的下一个。为此，我们首先必须完全删除i 和t 之间的所有块。它需要F(i+1, t-1) 步骤。然后我们将计算从t 到j 删除所有块需要多少步骤，而最后删除角块。它需要G(t, j) 步骤。现在可以免费删除块i，因为它与块t相邻，可以在最后一步一起删除。请注意，t 可能等于j。因此我们可以只用两个移除的块来覆盖移动。

此解决方案需要 O(N²) 内存和 O(N³) 时间。 实现它的最简单方法是惰性动态编程（使用递归函数并记住答案）。

如果您还需要步骤顺序，那就有点困难了。每个函数 F 和 G 还应该存储中间变量t 值，它给出了最小答案。然后，您可以使用另一个递归函数重构这些步骤，该函数将仅使用存储的“t”值来镜像 F 和 G 计算。这样你将得到所有的段，现在你可以从最小到最大输出它们。

编辑：

注意，因为j 在F 和G 中可以小于i，所以你应该小心。不是i <= t <= j 而是t 从i 开始并增加直到达到j （它可能会越过终点并从n-1 变为0）。 i < t <= j 类似。

也没有办法为函数传递一个空段，因此j==i-1 不应该有基数。相反，如果没有要删除的块，则不应调用 F 和 G。