二叉树，数组与链接

Question

一般来说，基于二叉树的抽象可以使用实际的链接节点对象来实现，其中每个节点都有指向它的两个子节点的指针，或者一个数组，其中索引 k 中节点的子节点是 2k 和 2k+1。

除了节点的少量额外内存开销外，总体上的复杂性似乎是相同的。

两者相比有什么具体的优势吗？有趣的是，我看到二叉堆倾向于使用数组实现，而二叉搜索树倾向于使用链接节点实现。这有什么原因吗？

Answer 1

数组不能有效地表示任意形状的二叉树，只有完整树。一棵完全二叉树是所有层都满的，或者除了最深层之外的所有层都是满的，并且最深层的所有节点都尽可能地向左。 （你可以想象，关卡从左到右被节点填充，并且必须在下一个级别开始之前填充一个级别。）

根据定义，堆是完整的二叉树 - 因此使用数组实现是因为它具有出色的内存效率。另一方面，必须支持在任意位置插入和删除的二叉搜索树（因此可能不是完整的树）不能使用数组实现。

Answer 2

首先，它是一个合理的问题：二叉树确实可以嵌入到数组中。 phari's answer 不正确：可以通过一些努力将任意形状的树嵌入到数组中（只要您有足够的内存）。一个简单的表示将涉及将Node 定义为变体类型：它是Filled 或Empty，其中Filled 包含密钥和辅助数据，Empty 类似于Nil（又名空指针）。如果您需要支持的唯一操作是delete，那么您就已经设置好了：只需执行build 操作以返回一个完整的树，然后执行正常的二叉树delete 操作。无需平衡即可达到O(log n) 复杂性界限（其中n 是树的初始项数）。

还可以通过保持树的平衡形状来实现insert 操作。稍微简化一下，您可以维护一个几乎完整的树，其存储大小不超过2n（其中n 是树中的当前项目数）。当插入一个新项目时，您检查要插入它的适当数组单元格的位置：如果它在分配的存储空间内，您只需将其写入该单元格。否则，您从该单元格的父级开始向上上树，直到找到一个子树，其存储空间足以容纳包括新项目在内的所有项目；如果不存在这样的子树，则将存储空间加倍。找到该子树后，将其重建为几乎完整的形状并将新项目插入正确的数组单元（现在保证在分配的存储中）。所有这一切都可以在摊销的O(log^2(n)) 时间内完成，或者在摊销的O(log(n)) 时间内完成。

以上算法草图基于"Cache Oblivious Search Trees via Binary Trees of Small Height"。

我已经实现了一个名为TeardownTree 的数据结构，它使用了这种嵌入。我支持主分支上的build、delete、delete_range、query_range、iter 操作，以及在insert 分支上的实验性insert 操作。项目页面还包含一些基准，表明数据结构至少在某些用途上绝对可行。

您可能也有兴趣 this blog post 解释如何在恒定辅助空间中构建树（实践中非常快速的方法）。