为什么浮点变量在 C# 中的 16777216 处停止递增？

Question

float a = 0;
while (true)
{
    a++;
    if (a > 16777216)
        break; // Will never break... a stops at 16777216
}

谁能向我解释为什么在这段代码中浮点值在 16777216 处停止递增？

编辑：

或者更简单：

float a = 16777217; // a becomes 16777216

Answer 1

16777217 不能用浮点数精确表示。浮点数可以精确表示的下一个最大数字是 16777218。

因此，您尝试将浮点值 16777216 增加到 16777217，这无法用浮点数表示。

Answer 2

当您以二进制表示形式查看该值时，您会发现它是一个多个零，即1 0000 0000 0000 0000 0000 0000，或者正好是 2^24。这意味着，在 16777216，这个数字刚刚增长了一位数。

由于它是一个浮点数，这可能意味着其末尾仍存储的最后一个数字（即在其精度范围内）也向左移动。

您可能看到的是，精度的最后一位刚刚转移到大于 1 的值，因此添加一个不再有任何区别。

Answer 3

IEEE-754 浮点数（32 位）的简短总结：

• 1位符号（0表示正数，1表示负数）
• 8 位指数（带 -127 偏差，此处不重要）
• 23 位“尾数”
• 除了指数值 0 和 255 之外，您可以将值计算为：(sign ? -1 : +1) * 2^exponent * (1.0 + mantissa)
  • 尾数位表示二进制位后小数分隔符，例如1001 0000 0000 0000 0000 000 = 2^-1 + 2^-4 = .5 + .0625 = .5625 并且小数点分隔符前面的值不存储，而是隐式假定为 1（如果指数为 255，则假定为 0，但这并不重要），因此对于 30 的指数，例如，这个尾数示例表示值1.5625

现在来看你的例子：

16777216 正好是 2²⁴，并且会像这样表示为 32 位浮点数：

• 符号 = 0（正数）
• 指数 = 24（存储为 24+127=151=10010111）
• 尾数 = .0
• 作为 32 位浮点表示：0 10010111 00000000000000000000000
• 因此：值 = (+1) * 2^24 * (1.0 + .0) = 2^24 = 16777216

现在让我们看看数字 16777217，或者正好是 2²⁴+1：

• 符号和指数相同
• 尾数必须正好是 2^-24，这样(+1) * 2^24 * (1.0 + 2^-24) = 2^24 + 1 = 16777217
• 问题就在这里。尾数不能有值 2^-24 因为它只有 23 位，所以数字 16777217 不能用 32 位的精度表示浮点数！

Answer 4

想象一下十进制形式。假设你有号码：

1.000000 * 10^6

或 1,000,000。如果你只有六位数的准确度，那么在这个数字上加上 0.5 就会得到

1.0000005 * 10^6

但是，当前使用 fp 舍入模式的想法是使用“舍入到偶数”而不是“舍入到最近”。在这种情况下，每次增加此值时，它都会以浮点单位向下舍入回 16,777,216 或 2^24。 IEE 754 中的 Singles 表示为：

+/- exponent (1.) fraction

“1”在哪里。是隐含的，在这种情况下，分数是另外 23 位，全为零。额外的二进制 1 将溢出到保护位，向下执行舍入步骤，并且每次都被删除，无论您增加多少次。 ulp 或 最后一个位置的单位 将始终为零。最后一次成功的增量来自：

+2^23 * (+1.) 11111111111111111111111 -> +2^24 * (1.) 00000000000000000000000