段树时间复杂度分析答案

【问题标题】：Segment tree time complexity analysis段树时间复杂度分析
【发布时间】：2015-01-26 21:37:24
【问题描述】：

我们如何证明分段树 (http://letuskode.blogspot.in/2013/01/segtrees.html) 上的 update 和 query 操作（不要与区间树混淆）是 O(log n)？

我想到了这样一种方法——在每个节点上，我们最多对左右子树进行两次递归调用。如果我们能够证明其中一个调用相当快地终止，那么时间复杂度将是对数有界的。但是我们如何证明这一点呢？

【问题讨论】：

标签： data-structures time-complexity segment-tree

【解决方案1】：

在树的每个级别 (L) 上，最多有 2 个可能有部分重叠的节点。（如果无法证明——为什么？请提及）

因此，在第 (L+1) 级，我们必须探索最多 4 个节点。树中的总高度/级别为 O(log(N))（其中 N 是节点数）。因此时间复杂度为 O(4*Log(N)) ~ O(Log(N))。

PS：请参考@Oleksandr Papchenko 所附的图表以更好地理解。

【讨论】：

【解决方案2】：

如果我们证明在每个级别上最多有 N 个节点可以访问，并且知道二叉树段树的最大 logN 高度 - 我们可以说查询操作的复杂度是 O(LogN)。其他答案告诉您，每个级别最多访问 2 个节点，但我假设最多访问 4 个节点，访问级别上的 4 个节点。您可以在其他来源（如 Geek for Geeks

）中找到相同的声明而无需证明

其他答案显示您的分段树太小。考虑这个例子：叶节点大小为 16 的分段树，索引从零开始。您正在寻找范围 [0-14] 请参阅示例：交叉是我们正在访问的节点

【讨论】：

我认为其他答案想要建议的是 在每个级别最多 2 个节点将被扩展（即将进行递归调用），因此在示例中，您即使在某些级别 4 个节点可能会被访问（标记为“X”） 也已经给出，但是只有其中 2 个节点会进行递归调用，并且它们将被进一步扩展（在 4 个节点中） (这是2）。
这里提供了一个很好的解释codeforces EDU，如果有人只对这部分感兴趣，请直接寻求9:30（您可能必须加入课程，视频是该部分的第一部分树系列）。

【解决方案3】：

声称在每个级别上最多扩展 2 个节点。我们将通过反证法来证明这一点。考虑下面给出的段树。

假设在这棵树中展开了 3 个节点。这意味着范围是从最左边的彩色节点到最右边的彩色节点。但请注意，如果范围延伸到最右边的节点，则覆盖中间节点的整个范围。因此，该节点将立即返回该值并且不会被扩展。因此，我们证明，在每一层，我们最多扩展 2 个节点，并且由于有 log⁡n 层，所以扩展的节点是 2⋅logn=Θ(logn)

【讨论】：

【解决方案4】：

引理：树的每一层最多使用 2 个节点（一层是与根有固定距离的节点的集合）。
证明：假设在h级别至少使用了3个节点（我们称它们为L、M和R）。这意味着从L 节点的左边界到R 节点的右边界的整个区间都在查询范围内。这就是为什么M 被完全位于查询范围内的h - 1 级别的节点（我们称之为UP）完全覆盖的原因。但这意味着根本无法访问M，因为遍历将在UP 或更高节点处停止。下面是一些图片来阐明这一步的证明：

 h - 1:  UP          UP        UP
         /\          /\        /\
 h:     L  M R    L M  R    L  M   R

这就是为什么每个级别最多使用两个节点的原因。段树中只有log N 级别，因此总共最多使用2 * log N。

【讨论】：

你能举个例子吗？它也会让未来的读者更清楚！
Kraskevich 的答案是正确的，除了最后一句。据他介绍，对于T(l, r)和n = l - r，最多可以使用2 * log n节点。如果是真的，对于T(1, 17)，可以使用8个节点，但真正的答案实际上是6。答案应该是2 * log n - 2，因为他假设我们可以使用级别1的两个节点。但是，在这种情况下，我们需要获取根节点而不是 1 级节点。此外，我们无法获得这两个节点中的任何一个，因为这意味着在更高级别中没有使用任何节点。对于T(1, 17)、[1, 9)和[9-17]级别1的节点。如果我们使用[1, 9)，我们丢弃ch