给定神奇的数据结构的更快的排序算法？

Question

假设您有一个神奇的数据结构，它表示元素的线性序列，支持在最坏情况 O(1) 时间内查找、插入和删除任何索引。 （我很确定，鉴于现代机器的内存模型，不可能有这样的结构，但我们假设我们有一个有趣的结构）。

我的一个朋友指出，如果你有这个数据结构，那么你可以为整数构建一个很酷的排序算法，它在预期的 O(n lg lg n) 时间内运行，如下所示。首先，创建上面提到的一种神奇的数据结构。接下来，对于输入数组中的每个元素，使用插值搜索在预期的 O(lg lg n) 时间内找到该元素所属的魔法数组中的索引，然后在 O(1) 时间内插入该元素。最后，在 O(n) 时间内，读取排序后的魔法数据结构。这使得 n 次调用 O(lg lg n) 插值搜索，这将在 O(n lg lg n) 时间内运行。

我知道，上述方法不会给最坏情况 O(n lg lg n) 时间进行排序，因为存在病态错误的输入数组，如果用于插值搜索会将搜索退化为 O(n2) 时间。我的问题是，鉴于这种神奇的数据结构，可以构建最快的整数排序算法，假设我们只关心算法的最坏情况运行时？

（这可能更适合 cstheory，但我想我会先在这里问，因为我过去得到了一些很棒的算法答案。）

Answer 1

插值搜索需要的操作不仅仅是比较，因此不能用于比较排序。如果您可以运行插值，您可能可以执行类似基数的操作，因此性能比 O(n log n) 更好，而神奇的数据结构会有所帮助。

在您的魔术结构上以 O(n) 计算排序排序，这与任何整数排序算法可能的速度差不多。一个有趣且可能未解决的问题是最快的整数并行排序算法有多快。给定无限数量的处理器（例如在非确定性图灵机中），我希望您可以做得比 O(n) 更好，但我不知道能做到多少。

Answer 2

任何基于比较的排序在一般情况下都需要O(n log(n)) 比较，更不用说最差的情况了。有关原因的详细信息，请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/Comparison_sort#Number_of_comparisons_required_to_sort_a_list。因此，即使使用神奇的数据结构，也没有基于比较的排序能够超过这个下限。

基于非比较的排序（例如基数）的设计方式往往不会从您的数据结构中受益，因此我认为这不会对它们产生影响。

Answer 3

计数排序的复杂度为 O(n) http://en.wikipedia.org/wiki/Counting_sort 。 但是，使用起来并不总是很方便，因为算法创建的临时数组的大小是排序数组的最大整数值。