比较两个角度答案

【问题标题】：comparing two angles比较两个角度
【发布时间】：2011-02-22 22:28:20
【问题描述】：

给定平面上的四个点A,B,X,Y，我希望确定以下两个角度中的哪一个更小∢ABX 或∢ABY。

角度∢ABX 定义为BX 的角度，此时AB 被转换为位于开放段(-∞,0] 上。直观地说∢ABX是指访问顶点B后左转时的角度。

我宁愿不使用cos 或sqrt，以保持准确性并最大限度地降低性能（代码将在嵌入式系统上运行）。

在A=(-1,0),B=(0,0)的情况下，我可以通过计算向量X,Y的点积来比较∢ABX和∢ABY这两个角度，并观察它的符号。

在这种情况下我能做的是：

判断ABX是右转还是左转
如果ABX 向左转，检查Y 和A 是否在线段BX 的同一侧。如果它们是 - ∢ABX 小于 ABY。
如果ABX右转，那么Y和A在BX的同一侧表示∢ABX大于∢ABY。

但这对我来说似乎太复杂了。

有更简单的方法吗？

【问题讨论】：

请注意，仅当您的位置已经准确知道时，保持准确性才有意义，例如表示为整数或有理数。但还有其他避免平方根的正当理由，即性能。

标签： math vector geometry

【解决方案1】：

这是一些伪代码。不检测两个角度相同的情况。也不处理角度方向，例如假设所有角度都是

v0 = A-B
v1 = X-B
v2 = Y-B

dot1 = dot(v0, v1)
dot2 = dot(v0, v2)

if(dot1 > 0)
  if(dot2 < 0)
    // ABX is smaller
  if(dot1 * dot1 / dot(v1,v1) > dot2 * dot2 / dot(v2, v2) )
    // ABX is smaller
  // ABY is smaller

if(dot2 > 0)
  // ABY is smaller
if(dot1 * dot1 / dot(v1,v1) > dot2 * dot2 / dot(v2,v2) )
  // ABY is smaller
// ABX is smaller

请注意，如果您允许取两个平方根，那么大部分痛苦都会消失。

【讨论】：

【解决方案2】：

通过做将原点放在 B 上

X = X - B
Y = Y - B
A = A - B

编辑：您还需要对 3 个向量进行归一化

A = A / |A|
X = X / |X|
Y = Y / |Y|

通过做找到两个角度

acos(A dot X)
acos(A dot Y)

===

我不明白失去精度的意义。您只是在比较，而不是以任何方式修改点的坐标...

【讨论】：

您假设 A 和 X 的大小为 1（或互为倒数）。 A 和 Y 也是如此。

【解决方案3】：

您可能想查看Rational Trigonometry。距离和角度的概念换成了四边形和散布，不涉及sqrt和cos。请参阅该网页的底部以了解如何计算两行之间的分布。该主题有自己的网站，甚至还有youtube channel。

【讨论】：

【解决方案4】：

为了保持准确性，我宁愿不使用 cos 或 sqrt。

这毫无意义。

但这对我来说似乎太复杂了。

这对我来说似乎完全错误。

取两个向量之间的差并查看分量的符号。

您需要注意的是“更小”的含义。如前所述，这个想法并不是很精确。例如，如果一个点 A 在象限 4（x 分量 > 0 和 y 分量 0 和 y 分量 > 0），那么 "更小”是什么意思？矢量从原点到 A 的角度在零和 π/2 之间；矢量从原点到 B 的角度在 3π/4 和 2π 之间。哪个“更小”？

【讨论】：

这是一个很好的观点。角度∢ABX 定义为BX 的角度，当AB 被转换为位于开放段(-∞,0] 上时。直观地说，我是指访问顶点@ 后左转时的角度ABX 987654325@.
Cos 是一个近似值，所以是的，除了这些操作的高成本之外，还损失了一些准确性。此外，他只需要单调函数而不是值本身。

【解决方案5】：

我不确定您是否可以在不使用 sqrt 的情况下逃脱。简单：

AB = A-B/|A-B|
XB = X-B/|X-B|
YB = Y-B/|Y-B|

if(dot(XB,AB) > dot (YB,AB)){
 //<ABY is grater
}
else
{
...
}

【讨论】：

我在问题中描述了一种不使用平方根的方法。我很高兴听到为什么我的方法不起作用。

【解决方案6】：

使用余弦定律：a**2 + b**2 - 2*a*b*cos(phi) = c**2

其中 a = |ax|，b =|bx| (|by|), c=|ab| (|ay|) 和 phi 是你的角度 ABX (ABY)

【讨论】：

不使用 sqrt 如何获得这些距离？
必须放弃“无平方根”的想法。
你不需要 sqrt。您将 cos(phi1) 与 cos(phi2) 进行比较。两者中越大的角度越大。
真的吗？您如何处理 x = 0 处的不连续性？
您将需要 sqrt 来计算 2*a*b 术语（您需要这样做来解决 cos(phi)）。此外，cos(phi1)、cos(phi2) 中较大的一个将对应较小的角度。