查找 f(x) = a*min(b, x) 形式的函数最大值的算法？

Question

我有一组元组 (a, b) 和 a > 0 和 b > 0。
每个元组代表一个函数f，使得f(x, a, b) = a * min(b, x)。

对于给定的x，是否有已知算法可以找到哪个元组返回最大值？
我不想评估每个函数来检查最大值，因为我会针对不同的x 查询这个数组任意次数。

例子：

array = [ (1, 10), (2, 3) ]
x < 6 -> choose (2, 3)
x = 6 (intersection point) -> either (1, 10) or (2, 3) doesn't matter
x > 6 -> choose (1, 10)

所以问题是这些元组可以按a 或b 排序。但是它们之间可能有很多交叉点（如果我们将它们可视化为图形）。所以我想避免任何 O(n^2) 排序算法来检查x 的某些范围，这是最好的功能。我的意思是我不想将每个函数与所有其他函数进行比较，以找出从哪个点x'（交点）和我应该选择一个而不是另一个。

Answer 1

假设a's、b's 和查询的x's 总是非负数，则每个查询都可以在O(log(n)) 时间在O(n*log(n)) 预处理步骤之后完成：

预处理步骤消除了这些严格受他人支配的功能。例如，对于每个 x，(5, 10) 都大于 (1, 1)。 （所以，如果数组中有(5, 10)，那么我们可以删除(1, 1)，因为它永远不会是任何x 的最大值。）

这是一般条件：当且仅当c > a 和(c*d > a*b) 时，函数(a, b) 对于每个x 都大于(c, d)。 （这很容易证明。）

现在，我们要做的是删除存在(c, d) 的函数(a, b)，例如c > a 和(c*d > a*b)。这可以在 O(n*log(n)) 时间内完成：

1 - 按字典顺序对元组进行排序。我的意思是按字典顺序首先比较它们的第一个坐标，如果它们相等，然后比较第二个坐标。例如，排序后的数组可能如下所示：

(1, 5)
(1, 17)
(2, 9)
(4, 3)
(4, 4)

2 - 以相反的顺序遍历已排序的数组，并跟踪您目前遇到的最大值 a*b。我们称这个值为M。现在，假设我们在循环中处理的元素是(a, b)。如果a*b < M，我们删除这个元素。因为对于我们之前处理的一些(c, d)，c > a 和c*d > a*b，因此(a, b) 是无用的。经过这一步，示例数组将变为：

(2, 9)
(4, 4)

(4, 3) 被删除，因为它被 (4, 4) 支配。 (1, 17) 和 (1, 5) 被删除，因为它们被 (2, 9) 支配。

一旦我们去掉了所有对于任何 x 都不是最大值的函数，其余函数的图形将看起来像 this。

如图所示，从与前一个函数相交的点到与后一个函数相交的点，每个函数都是最大值。对于上面的示例，(4, 4) 和 (2, 9) 在 x = 8 处相交。所以(4, 4) 是直到x = 8 的最大值，在那之后，(2, 9) 是最大值。 我们要计算数组中连续函数相交的点，这样对于给定的 x，我们可以对这些点进行二分搜索，找出哪个函数返回最大值。

Answer 2

效率的关键是避免无用的工作。如果您想象一棵决策树，那么修剪分支是一个经常用于此的术语。

对于您的情况，决策基于在两个函数（或参数元组）之间进行选择。为了选择这两个函数中的任何一个，您只需确定它们为您提供相同值的值x。其中一个对于较小的值表现更好，一个对于较大的值。另外，不要忘记这部分，它可能是一个函数总是比另一个执行得更好。在这种情况下，可以完全删除表现较差的那个（另见上文，避免无用的工作！）。

使用这种方法，您可以从这个切换点映射到左侧的函数。找到任意值的最优函数只需要找到下一个更高的切换点。

顺便说一句：确保你有单元测试。这些东西很繁琐，尤其是浮点值和舍入错误，所以你要确保你可以运行越来越多的测试套件，以确保一个小错误修复不会破坏其他地方的东西。

Answer 3

我认为您应该先根据“b”对数组进行排序，然后再根据“a”排序。现在对于每个 x 只需使用二进制搜索并找到 min(b,x) 将根据值仅给出 b 或 x 的位置。因此，从那时起，如果 x 很小，那么 b 的所有即将到来的值然后将元组作为 t1 并且您可以使用该函数计算值，并且对于 b 的值将小于 x 您必须遍历。我不确定，但这是我能想到的。

Answer 4

数据预处理后，可以及时计算出这个最大值O(log(n))，其中n是元组(a, b)的个数。

首先，我们来看一个稍微简单的问题：你有一个(c, b)的对列表，你想找到c的最大值，条件是b<=x，你想要为x 的不同值多次执行此操作。例如以下列表：

 c   b
------
11  16
 8  12
 2   6
 7   9
 6  13
 4   5

有了这个列表，如果你用x=10问，c的可用值是2、7和4，最大值是7。

让我们按照b对列表进行排序：

 c   b
------
 4   5
 2   6
 7   9
 8  12
 6  13
11  16

当然，此列表中的某些值永远无法给出答案。例如，我们永远不能在答案中使用b=2、c=6 行，因为如果6<=x 则5<=x，所以我们可以使用c=4 行来获得更好的答案。所以我们不妨在列表中去掉类似的对，即到目前为止c 的值不是最高的所有对。因此，我们将列表缩减为：

 c   b
------
 4   5
 7   9
 8  12
11  16

鉴于此列表，索引为b，很容易找到c 的最大值。只需在<=x列表中找到b的最大值，然后返回c的对应值。

显然，如果您更改问题以便只需要带有b>=x（而不是b<=x）的值，您可以做同样的事情。

没错。那么这对您提出的问题有何帮助？

对于给定的x 值，您可以将问题拆分为 2 个问题。如果你能回答这两个问题，那么你就可以回答整个问题：

1. 在(a, b) 和b<=x 对中，哪一对给出的f(x,a,b) = a*b 的值最高？
2. 在(a, b) 和b>=x 的对中，哪一对的f(x,a,b) = a*x 的值最高？

对于 (1)，只需为每一对设置 c=a*b，然后遍历上面概述的整个索引复杂性。

对于 (2)，让 c=a 并执行上面的索引操作，但翻转以执行 b>=x 而不是 b<=x；当你得到a 的答案时，别忘了将它乘以x。