如何在凸包中获得均匀分布的点？

Question

给定一组点，

points = np.random.randn(...) # n 3d points

我想用 3d 点列表（形状为 nx3 的 np.array）均匀地填充由凸包定义的体积。

我可以得到凸包

hull = scipy.spatial.ConvexHull(points)

获得均匀填充该船体体积的点列表的最快方法是什么？

Answer 1

1. 求船体的 delaunay 单纯形

2. 根据面积随机抽样单纯形

3. 对于每个单纯形，使用dirichelet 分布找到采样点的均匀分布

4. 将分布与单纯形相乘以找到最终点。

   import numpy as np
   from numpy.linalg import det
   from scipy.stats import dirichlet
   
   
   def dist_in_hull(points, n):
       dims = points.shape[-1]
       hull = points[ConvexHull(points).vertices]
       deln = hull[Delaunay(hull).simplices]
   
       vols = np.abs(det(deln[:, :dims, :] - deln[:, dims:, :])) / np.math.factorial(dims)    
       sample = np.random.choice(len(vols), size = n, p = vols / vols.sum())
   
       return np.einsum('ijk, ij -> ik', deln[sample], dirichlet.rvs([1]*(dims + 1), size = n))
   
   

编辑：功能化并扩展到更高维度（警告：ConvexHull 仅适用于 9D）

Answer 2

在边界框中均匀地绘制点，并拒绝那些不在船体内部的点。 （由于外壳是凸面的，这可以在线性时间 O(F) 内完成，无需预处理，在预处理后的对数时间 O(log F) 内完成，将面投影到平面并考虑平面细分）。

Answer 3

如果它对某人有帮助，这里是实现 Yves 答案的代码：

1. 在凸包的边界框中均匀地绘制点。
2. 拒绝落在外壳外的点。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.spatial import ConvexHull
from matplotlib.patches import Rectangle
from matplotlib.path import Path

#Initial positions
pos = np.random.uniform(-30, 10, (20, 2))

#Convex hull of initial positions
hull = ConvexHull( pos )

#Bounding box
bbox = [hull.min_bound, hull.max_bound]

#Hull path
hull_path = Path( hull.points[hull.vertices] )

#Draw n random points inside the convex hull
n = 10**3
rand_points = np.empty((n, 2))
for i in range(n):
    #Draw a random point in the bounding box of the convex hull
    rand_points[i] = np.array([np.random.uniform(bbox[0][0], bbox[1][0]), np.random.uniform(bbox[0][1], bbox[1][1])])

    #We check if the random point is inside the convex hull, otherwise we draw it again            
    while hull_path.contains_point(rand_points[i]) == False:
        rand_points[i] = np.array([np.random.uniform(bbox[0][0], bbox[1][0]), np.random.uniform(bbox[0][1], bbox[1][1])])

#Plot
plt.scatter(pos[:, 0],pos[:, 1], marker='o',  c='blue', alpha = 1, label ='Initial points')
for simplex in hull.simplices:
        plt.plot(hull.points[simplex, 0], hull.points[simplex, 1], '-k')
plt.gca().add_patch(Rectangle((bbox[0][0], bbox[0][1]), bbox[1][0] - bbox[0][0], bbox[1][1] - bbox[0][1],facecolor = 'None', edgecolor = 'cyan'))
plt.scatter(rand_points[:, 0],rand_points[:, 1], marker='o',  c='red', alpha = 0.31, label ='Random points inside hull')
plt.legend()
plt.savefig("fig.png", dpi = 300)