CGAL 一般多边形：刚体运动和面积答案

【问题标题】：CGAL general polygons: rigid motions and areaCGAL 一般多边形：刚体运动和面积
【发布时间】：2013-12-08 10:43:15
【问题描述】：

调查this question，我将不得不处理边界由线段和圆弧组成的形状。似乎 CGAL 应该能够在这里帮助我：根据this section of the User's Manual，General_polygon_set_2 和 Gps_segment_traits_2 作为其特征类应该能够表达我需要的大部分操作，特别是交叉点和差异。

到目前为止，我在文档中还没有找到一种将刚性运动应用于这些形状的方法，以及一种计算结果形状面积的方法。

我想我可以解决这两个问题。对于刚性运动，我可以在转换原始定义对象后重新创建形状。为了计算面积，我可以使用鞋带方法的变体，调整以应对圆弧。手册中的示例打印了有关支撑圈的详细信息，并通过标题挖掘我发现我的多边形的每个curve 确实有一个supporting_circle() 方法，所以我猜它实际上是一个Arr_circle_segment_traits_2<K>::X_monotone_curve_2。所以我应该能够获得足够的圆圈信息来计算面积。在使用故意的编译器错误消息来了解手册中简单描述为unspecified_type的某些对象的类型后，我才在标题中发现了这一点。

尽管如此，这两个操作都需要相当多的工作，而且我很惊讶似乎没有内置的方法来执行这些操作。另一方面，CGAL 通过模板参数进行自定义的方式，我可能只是缺少一种方法来做这些适用于圆形段的事情，尽管它可能不适用于其他一般多边形。你知道我可以使用哪些快捷方式吗？

【问题讨论】：

嗨。 I am a CGAL developer。我自己也不确定答案，因为我不太了解 CGAL 的布尔运算和排列包。我已将您的问题转发到开发人员的内部邮件列表。我希望我们中的一个能够帮助你。
@lrineau：非常感谢！我的转换输入对象的解决方法可能在性能方面存在问题。我自己编写了一些代码来逐个转换多边形集，但是在重建转换后的多边形时我违反了一些先决条件。可能是因为我正在使用Epick 内核，并且只是将一个根点转换为双倍。目前我正在认真考虑自己从头开始实现这个布尔值。但也许一些开发人员可以帮助我，至少概述如何扩展 CAGL 以满足我的需求。

标签： c++ geometry transformation area cgal

【解决方案1】：

恐怕你不会喜欢我的回答。

我是一名 CGAL 开发人员，实际上是 Reg 的开发人员之一。布尔运算和排列包。

首先，不支持您要求的操作。

关于面积计算，您的方法似乎可行。然而，在概念中要求这样的操作对我们来说将是一项巨大的努力，因为这样我们就需要为我们支持的所有特征类实现该操作。我想，总是可以从一个开始，然后一个一个地添加它们。我会把它放到我们的待办事项列表中，但我不会把赌注押在快速交付上……

关于转换，答案更复杂。正如您已经注意到的，对（精确）几何形状（例如，排列、一般多边形集，甚至是小的线性简单凸多边形）应用非精确变换可能是有害的。你必须想出一个精确的变换，例如，一个包含精确类型的数字的变换矩阵——用于表示几何元素的（精确）坐标的相同（或至少可以相互转换）类型。问题自然是旋转，因为您通常从角度开始并使用三角函数（例如 sin() 和 cos()）来计算旋转矩阵。假设您要旋转给定的角度，例如 alpha。您需要计算 alpha 的近似值，使得 sin(alpha) 和 cos(alpha) 是有理数，因此可以用上述精确类型的数字表示。免费函数 CGAL::rational_rotation_approximation() 可以提供帮助。如该函数的手动输入中所述，该近似值基于 Canny 和 Ressler 在 8th SoCG 1992 上提出的有理旋转方法中描述的 Farey 序列。

祝你好运！

【讨论】：

非常感谢您的回答！只是为了澄清一下，这是否意味着我必须将所有计算转换为有理核和有理数？毕竟，如果我将它们与不精确的双精度相乘，计算精确的有理几乎旋转矩阵将无济于事，不是吗？双打有效与无效之间的分界线在哪里？像我失败的先决条件之一这样的平等检查听起来像是在某些情况下只能在双打上起作用，而在其他情况下可能会中断。是这样吗？
不完全是，您必须使用精确谓词精确构造内核。有些内核支持不一定是有理的代数数。我建议您仅在确定有理内核不足时才使用它们（例如，因为您需要计算某个数字的根）。但是，没有这样的内核支持超越数，例如 PI。如您所说，使用双精度数时，代码可能会中断，并且在某些情况下最终会中断，而当涉及到复杂的数据结构（例如排列）时，它会中断。