Python：来自概率密度函数数组的归一化累积分布函数

Question

对于一个连续变量 x 及其概率密度函数 p(x)，我有一个 x 值 x 的 numpy 数组和一个对应 p(x) 值 p 的 numpy 数组。 p(x) 虽然没有标准化，即在 p(x) 对 x 的图中，图下方的面积不是 1。我想计算累积分布函数 cdf 的值的相应数组。这就是我目前的做法，使用梯形规则来近似积分：

p_norm = p/np.trapz(p,x)
cdf = np.array([np.trapz(p_norm[:n],x[:n]) for n in range(len(p_norm))])

结果并不完全准确； cdf 的最终值接近 1，但不完全是 1。

有没有更准确、更简单的方法来规范化p 并找到cdf？我认为某些模块中可能有特定的功能；也许是一个面向统计的模块，具有相关参数（方差、置信区间等）的函数？

Answer 1

离散数据点的积分方法

变量x 只有在你有一个连续的函数形式时才是连续的。如果你有一个 几个离散值（如果你要制作一个离散值的numpy数组），然后 数组不再连续，因为它无法解析两个连续离散之间的点 x 的值。

因此，假设您实际上拥有x 和p 的离散数据点数组，这里 是我的建议。

先熟悉几种数值积分方法

• Newton-Cotes Formulas | 代码：scipy.integrate.newton_cotes

  这是一个通用规则，包括使用n-points 的集成。如果我们将n-point 公式表示为：newton-cotes(n)，那么

  • Trapezoidal Rule: n = 2 | 代码：scipy.integrate.trapezoid

  • Simpson's Rule: n = 3 | 代码：scipy.integrate.simpson

  • Simpson's 3/8 Rule:n = 4

  • Boole's Rule: n = 5 | 代码：请参阅this 了解想法。

• Weddle's Rule

• Hardy's Rule

1。使用scipy.integrate 进行集成

您可以使用“给定固定样本的函数积分方法”中列出的任何方法。

INSIGHT     这里重要的是：trapezoidal ruleyou interpolate 使用 straight line 的连续两点之间的空间。如果你可以 使用更高阶的多项式（阶数 ~ 2、3、4 等），那么这可以为您提供更好的结果 一体化。辛普森规则使用二阶多项式Simpson's Rule - Wolfram MathWorld。

Simpson's Rule: Integrating area under a curve using quadratic polynomials	An animation showing how Simpson's Rule is applied for integration

^{来源：Wikipedia}

给定固定样本的函数积分方法

   trapezoid            -- "Use trapezoidal rule to compute integral."
   cumulative_trapezoid -- "Use trapezoidal rule to cumulatively compute integral."
   simps                -- "Use Simpson's rule to compute integral from samples."
   romb                 -- "Use Romberg Integration to compute integral from
                           (2**k + 1) evenly-spaced samples."

? 另请参阅此示例：Calculating the area under a curve given a set of coordinates, without knowing the function。

2。使用sklearn.metrics.auc 的曲线下面积 (AUC)

积分本质上是曲线下面积 (AUC)。 Scikit-learn 库提供了一个简单的 计算 AUC 的替代方法。在实践中，这也使用梯形规则，所以，我这样做 看不到任何理由为什么这应该与您已经拥有的有任何/很大不同 使用numpy.trapz。

• 文档 - sklearn.metrics.auc
• 示例：auc = sklearn.metrics.auc(x, y)

3。考虑使用其他方法

3.1。 Romberg 集成

scipy.integrate.romb(y, dx=1.0, axis=- 1, show=False)

• 文档：scipy.integrate.romb
• 什么是 Romberg 方法？
  • Wikipedia
  • Romberg 积分背后的数学：PDF
  • YouTube 视频：Numerical Integration - Romberg Integration - example

参考文献

• Boole's rule for N intervals (C)
• https://readthedocs.org/projects/mec-cs101-integrals/downloads/pdf/latest/