查找重叠的圆圈

Question

我有一个矩形区域，其中有半径相等的圆。我想找出哪些圆圈与其他圆圈重叠（输出是重叠圆圈的 2 元素集列表）。

我知道如何检查两个圆是否重叠（它们的中心之间的距离小于直径）。我可以对每对圆执行此检查，但我想知道是否有更好的算法（比O(n^2) 更快）。

编辑

圆圈的数量通常在 100 左右，重叠不会经常发生。

这里有一些上下文： 矩形是游戏中的战场。单位的移动是小步完成的，我正在尝试检测单位之间的碰撞。

Answer 1

鉴于问题陈述的新解释，我会推荐一种不同的方法。

在战场上覆盖一个方形网格，网格步长等于一个圆的直径。每个圆圈最多可以重叠四个单元格。在每个单元格中，保留重叠圆圈的列表（并在每次移动时更新它）。

检测潜在的碰撞现在每个圆圈需要大约四次细胞/圆圈测试，即接近线性时间。

Answer 2

对于一个简单的解决方案，将中心插入二维树中，并围绕每个中心执行圆形范围查询，查询半径为 2R。在良好的条件下，这可以是 O(N Log(N))。

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或者，只需对 X 上的中心进行排序，然后依次尝试所有圆：通过二分搜索，定位横坐标 Xc 并扫描到 Xc-2R 和 Xc+2R，然后检查 2D 距离。

二分搜索的成本将是 O(N Log(N))。如果圆圈均匀分布在 S 边的正方形中，则宽度为 4R 的条带包含 4RN/S 个圆圈，因此总比较成本为 4RN²/S。如果 S 很大，这是一个很好的性能（认为对于正方形中的 N 个紧密排列的圆，S~2R√N，因此有 2N√N 个比较）。

Answer 3

直接答案：一般情况下，你不可能比 O(n^2) 更好，因为圆圈可能全部重叠，所以你必须生成 n^2 个答案。

如果你得到更具体的答案，你可能会得到更好的答案。例如，如果您真正想做的是在 2D 模拟中找到边界球体，您可以从实体仅在帧之间移动这么远的事实中受益，如果圆圈稀疏，则与紧密排列时不同，等等. 所以让我们更多地了解它的全部内容。

编辑：您编辑了您的问题 - 您确实正在寻找 2D 模拟中的碰撞检测。如果您查看 https://en.wikipedia.org/wiki/Collision_detection ，他们会针对您的情况指出几种算法。

我喜欢该页面上的一个详细权利，您可以在其中保留每个轴的一个边界间隔列表（“2D”中的 2 个），并且只需要在这些边界间隔（根据定义本身是一维的）时“努力工作” ) 变化（即出现“重叠状态”）。对于行为良好的情况，这将删除 O(n²)。他们没有给出其复杂性的估计，但由于它基本上归结为排序，在我看来或多或少O(n logn)，而当帧之间只有很小的变化时则更少。