多边形分解算法答案

【问题标题】：Algorithm for the decomposition of polygons多边形分解算法
【发布时间】：2014-03-14 23:20:11
【问题描述】：

有没有人知道一种相对快速的算法，可以将一组多边形分解为它们不同的重叠和非重叠区域，即给定一组 n 个多边形，找到它们之间的所有不同区域？

例如，输入将是代表圆形的 4 个多边形，如下所示

输出将是所有多边形，代表以不同颜色显示的不同区域。

我可以使用多边形操作编写自己的实现，但该算法可能会很慢而且很耗时。我想知道是否有针对此类问题的优化算法。

【问题讨论】：

您可能会想要某种扫描线算法，但它是非标准的，并且可能非常不容易高效地实现（多对数线性）
每个算法都“相对较快”——除了可能是最慢的算法，但无论如何这都包含一个无限循环。说真的：稳健地计算多边形的交点已经够难了（理论上，这很容易，但考虑到浮点运算的精度有限，以及点/线的“边界情况地狱”（几乎）重合，我会警惕自己实施这个）。我假设当您要求“相对快速”的算法时，您想排除对所有多边形及其交点进行成对测试的明显算法？你有多少个多边形？
@Marco13 我正在开发一个接受 2-8 个多边形的程序，但是是的，如果可能的话，我宁愿不测试所有可能的组合。
对于这么少的多边形，任何编写“非暴力”算法的尝试都是不值得的。但是如果你想这样做：在最坏的情况下，每个多边形与每个其他多边形（以及其他多边形对的每个相交）无论如何（就像在你的例子中一样！）。我目前能想到的唯一可能的优化是某种en.wikipedia.org/wiki/Bounding_volume_hierarchy，以快速排除肯定不相交的多边形。对于您的应用案例，这可能是一种可行的方法吗？
感谢您提出我已经得到答案的问题 :-) +1。

【解决方案1】：

我认为这并不难。我已经在友好网站上回答了类似的问题，并由一个较小的社区进行了检查： https://cs.stackexchange.com/questions/20039/detect-closed-shapes-formed-by-points/20247#20247

让我们寻找一个更常见的问题 - 让我们使用曲线而不是多边形。让我们允许它们超出图片边界，但我们只计算完全属于图片的简单多边形。
通过检查属于不同曲线的所有线段对来查找所有交点。当然，在真正检查相交之前过滤它们。
为所有曲线编号 1..n。在其中设置一些段的顺序。
为每个点创建一个交点序列 SOI，因此：如果它从边界端开始，SOI[1] 为空。如果不是，SOI[1]=（与它相交的第一条曲线的编号，相交曲线上向左移动的符号）。继续，在 SOI 中记录每个交叉点 - 如果有曲线，则为曲线数，如果是与边界的交叉点，则为 0。
显然，您只寻找简单的边界区域，内部没有曲线。
两个相邻的非空交点之间的曲线段，我们将其称为段。
为每条曲线设置 SOI：
- 对于曲线 1 的线段，从线段的第一个点开始，进行 2 次尝试绘制线段的多边形。它是 2，因为您可以沿着第一条相交曲线前往 2 条边。
- 尝试右转时，只做左转，尝试左转，只做右转。
- 如果您到达的点没有正确方向的路段，则尝试失败。如果返回曲线 1，则成功。你有一个封闭的区域。
- 记住所有成功的尝试
- 对曲线 1 的所有段重复此操作
- 对所有其他曲线重复此操作，检查所有找到的区域与已找到的区域。两个相同的相邻段足以认为面积相等。

如何找到路口的方向。

当段 p(p1,p2) 穿过段 q(q1,q2) 时，我们可以计算向量 pXq 的向量乘法。我们只对它的 Z 坐标的符号感兴趣——那是在我们的平面之外。如果是+，q从左到右穿过p。如果是-，q从右到左穿过p。

向量乘法的Z坐标在这里算作矩阵的行列式：

0         0          1
p2x-p1x   p2y-p1y    0
q2x-q1x   q2y-q1y    0

（当然也可以写得更简单，但这是一个很好的记忆技巧）

当然，如果您要更改左侧的所有权限，那么整个算法不会真正发生任何变化。

【讨论】：

【解决方案2】：

您的问题称为地图叠加问题。可以在O(n*log(n)+k*log(k))时间内求解，其中n为线段数，k为线段交点数。

首先你需要将你的多边形表示为doubly connected edge list，不同的面对应不同多边形的内部。

最后，遍历边缘列表中的每个循环并收集该循环半边的面。每组面将代表一个不同的重叠区域。

【讨论】：