用于路径简化和平滑 2D 轨迹的算法答案

【问题标题】：Algorithm for path simplification and smoothing of 2D trajectories用于路径简化和平滑 2D 轨迹的算法
【发布时间】：2015-02-28 03:19:54
【问题描述】：

我正在寻找一种用于 2D 轨迹的路径简化和平滑的算法。所以我有一个二维点的有序列表。这些点应该被简化，例如使用 Ramer-Douglas-Peucker 算法。但是输出必须是平滑的，因此结果路径应该由贝塞尔曲线或样条曲线构成。 Ramer-Douglas-Peucker 算法是否有任何修改可以处理这个问题？

我在 paper.js 库中找到了一个路径简化算法，它完全符合我的要求：http://paperjs.org/examples/path-simplification/ 但我无法从未记录的 javascript 源代码中理解该算法。

【问题讨论】：

标签： algorithm computational-geometry bezier

【解决方案1】：

您正在尝试做的事情称为 Curve Fitting.

虽然 Ramer-Douglas-Peucker 算法通过去除不必要的点从本质上消除了折线中的“噪声”，但曲线拟合算法将通过这些点拟合贝塞尔曲线。

Here 是 Youtube 上的一个很好的例子，here 是描述算法本身的原始论文。

至于 Paper.js 示例：

This 是该特定功能的 Github 链接你提到了，这是很好的评论。该研究论文认为使用的是 this。
另外here 是关于邮件列表的一个非常简短的讨论使用了什么，没有使用什么（显然使用了 Ramer-Douglas-Peucker 但后来删除了）

【讨论】：

第一段中提供的原始论文链接如下：Efficient curve fitting
@IvanZ 据我所知，Frisken 的算法已获得三菱实验室的专利。

【解决方案2】：

你想做的工作属于“曲线拟合”的范畴。曲线拟合有很多不同的算法，但几乎所有的曲线拟合算法都可以分为两类：插值法和近似法。插值算法产生一条准确通过所有数据点的曲线，而近似算法产生一条靠近数据点的曲线。当然，也存在混合算法。

由于您希望对数据点进行平滑处理，因此您应该寻找近似算法。对于您提到的两种算法：RDP 算法和 Schneider 算法（Paper.js 中的一种），它们都是近似算法。所以，基本上你可以使用它们中的任何一个。对于 RDP，在获得简化路径后，您可以使用通过简化路径的顶点创建 Catmull Rom 样条或 Overhauser 样条来获得平滑曲线。但是，您无法直接控制生成的样条线与原始路径中的顶点之间的偏差。

对于施耐德算法，它将首先通过具有末端切线约束的三次贝塞尔曲线拟合数据点。如果与结果曲线的偏差太大，则它将数据点分成两个“区域”，并使用带有端切线约束的三次贝塞尔曲线拟合每个数据区域。将重复此过程，直到所有三次贝塞尔曲线的偏差都足够小。结果，它产生了一系列三次贝塞尔曲线，最多与 C1 连续性相连（很可能它实际上只是 G1）。此外，由于该算法从原始数据点评估端切线，因此数据点中的噪声将影响端切线评估，从而影响三次贝塞尔拟合。

如果您可以花时间研究曲线拟合，您应该研究使用 B 样条曲线的最小二乘拟合。这将生成具有高连续性的输出曲线（例如，C2 用于三次 B 样条曲线）。如果您没有太多时间可以花费，那么 Schneider 的算法是一个不错的选择，它可以在实现成本（如果您必须用特定语言重新实现它）和结果曲线的质量之间取得平衡。

【讨论】：

【解决方案3】：

就我而言，我发现 Catmull-Rom Splines 最容易应用。 Smooth Paths Using Catmull-Rom Splines 来自 Mika 的 Coding Bits 的文章非常有帮助。我用它在我的 Unity3D 项目中用 C# 实现了样条插值脚本。这是脚本：

public static Vector2 CatmullRomInterpolation(Vector2 p0, Vector2 p1, Vector2 p2, Vector2 p3, float t, float alpha = .5f, float tension = 0)
{
    float t01 = Mathf.Pow(Vector2.Distance(p0, p1), alpha);
    float t12 = Mathf.Pow(Vector2.Distance(p1, p2), alpha);
    float t23 = Mathf.Pow(Vector2.Distance(p2, p3), alpha);
    Vector2 m1 = (1.0f - tension) * (p2 - p1 + t12 * ((p1 - p0) / t01 - (p2 - p0) / (t01 + t12)));
    Vector2 m2 = (1.0f - tension) * (p2 - p1 + t12 * ((p3 - p2) / t23 - (p3 - p1) / (t12 + t23)));
    return (2.0f * (p1 - p2) + m1 + m2) * Mathf.Pow(t, 3) + (-3.0f * (p1 - p2) - m1 - m1 - m2) * Mathf.Pow(t, 2) + m1 * t + p1;
}

p0 和 p3 是控制点，应该不同于 p1 和 p2，p1 和 p2 是路径中的起点和终点。

【讨论】：