不断降低的数组​​迭代的复杂性

Question

所以我有点不确定这个时间复杂度到底应该叫什么（我认为是O(N^2)，但我不确定我是否可以这样称呼它）

void solve(int[] nums, int k){
 int len = nums.length; 
  while(len > 0){ 
   for(int i = 0; i < len; i++){ System.out.println("hello"); }
   len-=k;
  }
}

所以我意识到它是：n + n-k + n-2k + n-3k + ... 我知道我不会在每次迭代中将搜索空间减半，因此显然不是 n*log(n) 其中 n 是数组的大小。我确实意识到它类似于发散系列(1+2+3+4+...);，因此，我之前的假设是O(N^2) == n(n+1)/2，但我真的可以这样称呼它吗？谢谢。

Answer 1

直观地说，我们应该期望这类似于 Θ(n² / k + n)。如果您将每个工作单元想象成一个正方形，您可以想象我们正在用这些正方形构建一个三角形。每列代表外循环的一次迭代。三角形的高度是 n，三角形的宽度是 (n / k)，所以我们希望会出现这样的结果。例如，如果 k = 1 且 n = 5，则三角形如下所示：

*
**
***
****
*****

如果 k = 2 且 n = 6，则三角形如下所示：

*
*
**
**
***
***

其中的 n 项是必要的，因为如果我们允许 k 变得非常非常大，我们仍然总是至少进行一次循环迭代，因此我们不希望我们的运行时间降为零。

现在，让我们看看数学是否与我们一致。正如您所提到的，您正在查看总和

n + (n - k) + (n - 2k) + (n - 3k) + ... + (n - (n/k)k)。

这里一共有(n / k) + 1个n term的副本，所以我们可以重新组合为

n((n / k) + 1) - (k + 2k + 3k + ... + (n/k)k)。

然后我们可以分解出一个 k 项来得到

n((n / k) + 1) - k(1 + 2 + 3 + ... + (n / k))。

第二项是高斯著名的和停止在 (n / k) 处，结果为

n((n / k) + 1) - (n / k)((n / k) + 1) / 2.

分解出 ((n / k) + 1) 项得到我们

((n / k) + 1)(n - n / 2k)

如果我们现在将所有内容相乘，我们得到

n(n / k) - n² / 2k² + n - n / 2k

= 2n²k / 2k² - n² / 2k² + n - n / 2k

= (2n²k - n²) / (2k²) + n - n / 2k

= Θ(n² / k + n).

因此，我们凭直觉进行数学运算。