查找需要从数组中删除的元素，使得 2*min>max答案

【问题标题】：Find elements which need to be removed from an array such that 2*min>max查找需要从数组中删除的元素，使得 2*min>max
【发布时间】：2014-05-26 22:30:28
【问题描述】：

考虑以下问题：

给出一个整数数组。您的目标是修剪数组，使 2*min > max，其中 min 和 max 是数组的最小和最大元素。如果上述条件不满足，您可以从数组的开头或结尾删除元素。应尽量减少移除次数。

例如如果数组是

a, b, c, d, e, f

其中 c 是最小值，e 是最大值，那么如果 2*c > e 为真，我们就完成了。如果不是，我们可以从开头（即 a、b、c）或从结尾（即 e、f）删除，这样新的 min 或 max 将满足条件并且删除应该是最小的。

我有一个 O(n²) 算法来解决这个问题。这能在 O(n log n) 的时间内解决吗？

【问题讨论】：

你的 O(n^2) 算法是什么？
嗯，你也可以同时从两边移除吗？否则我的回答比必要的更笼统

标签： arrays algorithm big-o time-complexity

【解决方案1】：

请注意，问题是找到满足条件的最大子数组。意识到如果条件对一个索引区间成立，它也适用于其中包含的所有区间。所以如果我们固定一个边界，我们可以贪婪地选择尽可能远离它的另一个边界。

可以在线性时间内解决这个问题：

如果您选择元素 i 作为左边界，则将 r_i 定义为最右边的可能右边界。我们可以证明r在i中是单调的，所以我们可以维护两个指向i和r_{i的指针sub>} 并在每次将 i 递增 1 后尽可能地递增 r_i。两个指针总共增加了 O(n) 次，我们可以使用范围内的值的堆或二叉搜索树来维持 O(log n) 中的范围最小值/最大值。

使用monotonic queue，我们可以维持 O(1) 中的极值并获得 O(n) 的总运行时间。例如，可以在here 找到队列的另一个 C++ 实现。

另一种不太优雅的方法是使用RMQ data structure。它让您在 O(n log n) 预处理之后查询 O(1) 范围内的最小值/最大值（O(n) 预处理也是可能的，但这里复杂且不必要，因为算法的其余部分不是线性时间)。

现在修复左边框（有 n 种可能性）。使用二分查找找到仍然满足条件的最右边边界（您可以检查 O(1) 是否满足）。

之所以有效，是因为谓词“范围满足条件”在包含方面是单调的（如果一个范围满足它，那么它所包含的所有范围也都满足它）。

【讨论】：

【解决方案2】：

你能改变数组中元素的顺序吗？如果是这样，您可以执行以下步骤：

使用例如快速排序或任何最适合的方式对数组进行排序你的要求 -> O(n lg n)
取第一个键 k = 2*input[0] -> O(1)
使用二分查找算法查找键k在数组中的索引-> O(lg n)
如果找到的索引大于输入数组长度的一半，则删除数组的最后一部分，否则删除第一部分。 -> O(1)

在这种情况下，复杂度是 O(n ln n) + O(1) + O(lg n) + O(1) => O(n lg n) 的总和

【讨论】：

你的算法对于这个输入是错误的 .. 2 3 3 4 5 6 ... ans 应该是 1 但你的算法给出了 ans=2。