使数组严格增加

Question

假设给定一个大小为 n 的序列。我们必须使这个序列严格递增。我们可以执行任何操作。即选择任意两个相邻元素 A(i) 和 A(i+1) 并将其中一个替换为 (A(i)+A(i+1))/2 （实数，即不四舍五入）。您还可以在多次操作中选择每对相邻元素和要替换的每个元素，即任意次数。

我们必须知道是否有可能使序列严格递增？ 两种可能性是如果数组的大小是 2 并且第一个元素大于 2nd 。那么不可能。 另一种可能性是如果它包含相同的元素。那么不可能。 是否还有其他无法回答的可能性。

Answer 1

观察 1： 如果有两个相邻的数 j，j 和 i > j，不使用任何其他数 k 就无法到达 i

观察2：如果有两个数i，j和ik+1 = (i + j_{k sub>) 足够的次数，你可以得到 j = i + c，其中 c 是任意小的。
或者，你可以做相反的事情（例如，放大 i 以便任意接近 j）。}

第二次观察的后果： 如果 first 元素小于 last 元素，您可以创建序列：

• 首先使除第一个元素之外的所有元素尽可能接近最后一个数字。这给了我们 i 1, j+c₂ ... j+c_x, j 的序列，其中每个 | c|接近于零。
• 现在使用 i 来制作递增序列：i, (i + j)/2, ((i + j)/2 + j)/2 ... j。由于 c 可以任意小，因此不会很重要。如果您的序列需要很长，您可能还需要对 i、((i+j) / 2 + i) / 2 等序列多次执行这些步骤。

上一步的结果： 只要有两个数字按升序排列，就可以排序：

• 将较小的数字平均到第一位。
• 将较大的数字平均到最后一个位置。
• 应用上一步。

观察 1 的结果： 如果数字处于递减或弱递减（非递增）顺序，则无法通过平均操作将它们重新排序为递增顺序。