我有一个元素数组 (arr)，以及一个接受 2 个元素并返回一个数字的函数 (f)。
我需要数组的排列，使得f(arr[i], arr[i+1]) 对于arr 中的每个i 尽可能少。 （它应该循环，即它还应该最小化f(arr[arr.length - 1], arr[0])）
另外，f 有点像距离，所以f(a,b) == f(b,a)
如果效率太低，我不需要最佳解决方案，但是一个运行合理且速度快的解决方案，因为我需要实时计算它们（我不知道arr 的长度是多少，但我认为它可能在 30 左右）
【问题讨论】：
标签： arrays algorithm language-agnostic permutation mathematical-optimization
“使得 f(arr[i], arr[i+1]) 对于 arr 中的每个 i 尽可能少”是什么意思？你想最小化 sum 吗？你想最小化其中最大的吗？你想首先最小化 f(arr[0],arr[1])，然后在所有最小化这个的解决方案中，选择一个最小化 f(arr[1],arr[2]) 等的解决方案，等等开吗？
如果你想最小化 sum，这正是完全概括的旅行推销员问题（嗯，“度量 TSP”，也许，如果你的 f 确实形成一个度量）。对天真的解决方案进行了巧妙的优化，可以为您提供确切的优化并在合理的时间内运行大约 n=30；您可以使用其中之一，或提供近似值的启发式方法之一。
如果你想最小化最大值，这是一个更简单的问题，虽然仍然是NP-hard：你可以对答案进行二分搜索；对于特定值 d，为具有 f(x,y) 的对绘制边
如果你想按字典序最小化它，这很简单：选择距离最短的一对并将其作为 arr[0],arr[1]，然后选择 arr[2] 即最接近 arr[1]，以此类推。
根据你的 f(,)s 来自哪里，这可能比 TSP 容易得多；你也可以提一下。
【讨论】：
您并不完全清楚自己在优化什么 - f(a[i],a[i+1]) 值的总和、它们的最大值还是其他什么？
无论如何，由于您的速度限制，贪婪可能是您最好的选择 - 选择一个元素来制作 a[0]（由于环绕，这并不重要），然后选择每个连续的元素 a[i+ 1] 是最小化 f(a[i],a[i+1]) 的那个。
这将是 O(n^2)，但有 30 个项目，除非这是在一个内部循环中或其他什么都可以的。如果你的 f() 真的是关联的和可交换的，那么你也许可以在 O(n log n) 中做到这一点。减少到排序显然不会更快。
【讨论】：
我认为问题在这种形式中没有得到很好的定义：
让我们改为定义 n fcns g_i : Perms -> Reals
g_i(p) = f(a^p[i], a^p[i+1]), and wrap around when i+1 > n
要说你想在所有排列上最小化 f 实际上意味着你可以选择 i 的值并在所有排列上最小化 g_i，但是对于最小化 g_i 的任何 p，一个相关但 不同 的排列最小化 g_j（只是共轭排列）。因此，在每个 i 的排列上最小化 f 是没有意义的。
【讨论】：
除非我们对 f(x,y) 的结构有更多了解，否则这是一个 NP 难题。给定一个图 G 和任何顶点 x,y 如果没有边，则 f(x,y) 为 1，如果有边，则为 0。问题要求的是对顶点进行排序，以使最大 f(arr[i],arr[i+1]) 值最小化。由于这个函数只能是 0 或 1，所以返回 0 相当于在 G 中找到一条哈密顿路径，而 1 表示不存在这样的路径。
该函数必须具有某种结构，该结构不允许该示例易于处理。
【讨论】：