“高阶 Traversable”类应该是什么样的？

Question

在this answer 中，我当场编造了一些看起来有点像“高阶Traversable”的东西：就像Traversable，但对于从Hask 到Hask 的endofunctors 类别的函子。

{-# LANGUAGE RankNTypes #-}
import Data.Functor.Compose
import Data.Functor.Identity

class HFunctor t where
    hmap :: (forall x. f x -> g x) -> t f -> t g

class HFunctor t => HTraversable t where
    htraverse :: Applicative g => (forall x. f x -> g x) -> t f -> g (t Identity)
    htraverse eta = hsequence . hmap eta
    hsequence :: Applicative f => t f -> f (t Identity)
    hsequence = htraverse id

我将HFunctor 设为HTraversable 的超类，因为它看起来是对的，但是当我坐下来写hmapDefault 时，我卡住了。

hmapDefault :: HTraversable t => (forall x. f x -> g x) -> t f -> t g
hmapDefault eta = runIdentity . htraverse (Identity . eta)

-- • Couldn't match type ‘x’ with ‘g x’
--   Expected type: f x -> Identity x
--     Actual type: f x -> Identity (g x)

Identity . eta 有一个类型forall y. f y -> Identity (g y)，所以当我将它传递给htraverse g 与Identity 和x 统一时，必须与y 和g y 统一，所以它失败了因为遍历函数不是自然变换。

我尝试使用Compose 对其进行修补：

hmapDefault :: HTraversable t => (forall x. f x -> g x) -> t f -> t g
hmapDefault eta = runIdentity . getCompose . htraverse (Compose . Identity . eta)

现在Compose . Identity . eta 是一种自然转换，但你不能htraverse 使用它，因为你不知道Applicative g。即使您可以这样做，runIdentity 调用也会返回 g (t Identity)，而您无法将 g 放回 t 中。

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然后我意识到我的htraverse 并不真正类似于普通的旧traverse。 traverse 的遍历函数将新值 inside 放入 Applicative 效果中，使类型表达式变大。所以htraverse 应该是这样的：

class HFunctor t => HTraversable t where
    htraverse :: Applicative a => (forall x. f x -> a (g x)) -> t f -> a (t g)

很有希望这个定义看起来更像Traversable，而hmapDefault 会顺利进行，

hmapDefault :: HTraversable t => (forall x. f x -> g x) -> t f -> t g
hmapDefault eta = runIdentity . htraverse (Identity . eta)

但我正在努力为sequenceA 想出一个好的类比。我试过了

hsequence :: (HTraversable t, Applicative f) => t f -> f (t Identity)
hsequence = htraverse (fmap Identity)

但我无法想出以hsequence 来实现htraverse 的方法。和以前一样，f 不是自然转换。

htraverse f = hsequence . hmap f

-- • Couldn't match type ‘x’ with ‘g x’
--   Expected type: f x -> a x
--     Actual type: f x -> a (g x)

我怀疑我的hsequence 类型签名错误。 Applicative 是问题吗 - 我需要一直到 indexed monads 吗？ “从Functor 类别到 Hask 的可遍历函子”的类应该是什么样的？这样的事情还存在吗？

Answer 1

首先，我们有sequence = traverse id。

这里htraverse 的第一个参数的类型为forall x. f x -> a (g x)，我们不能有id，但我们可以尝试使用同构。要使f x 与a (g x) 同构，我们可以选择f ~ Compose a g。

htraverse = hsequence . hmap (Compose . eta)

hsequence :: Applicative a => t (Compose a g) -> a (t g)
hsequence = htraverse getCompose