稀疏对角矩阵求解器答案

【问题标题】：Sparse diagonal matrix solver稀疏对角矩阵求解器
【发布时间】：2015-02-07 15:21:06
【问题描述】：

我想在 MatLab 中求解一个线性系统（对应于用有限差分格式编写的两个方程的 PDE 系统）。系统矩阵的作用（对应于 PDE 系统的扩散项之一）象征性地读取（u 是未知字段之一，n 是时间步长，j 是网格点）：

完全：

上面的矩阵必须是A，其中 A*U^n+1 = B 是系统。 U 交替包含“u”和“v”（PDE 系统的第二个未知字段）：U = [u_1,v_1,u_2,v_2,...,u_J,v_J]。到目前为止，我一直在使用 spdiags 和 diag 以下列昂贵的方式填充这个矩阵：

    E=zeros(2*J,1);

    E(1:2:2*J) = 1;
    E(2:2:2*J) = 0;

    Dvec=zeros(2*J,1);

        for i=3:2:2*J-3
                 Dvec(i)=D_11((i+1)/2);    
        end

        for i=4:2:2*J-2
                 Dvec(i)=D_21(i/2);
        end

    A = diag(Dvec)*spdiags([-E,-E,2*E,2*E,-E,-E],[-3,-2,-1,0,1,2],2*J,2*J)/(dx^2);`

以及解决方案

[L,U]=lu(A);
 y = L\B; 
 U(:) =U\y;

其中B 是右侧向量。

这显然是不合理的昂贵，因为它需要构建一个 JxJ 矩阵，做一个 JxJ 矩阵乘法等。

然后我的问题来了：有没有办法在不向 MatLab 传递矩阵的情况下求解系统，例如，通过传递向量 Dvec 或直接传递 D_11 和 D_22？这将节省我大量的内存和处理时间！

【问题讨论】：

标签： matlab matrix linear-algebra sparse-matrix pde

【解决方案1】：

Matlab 不将稀疏矩阵存储为 JxJ 数组，而是存储为大小为 O(J) 的列表。看 http://au.mathworks.com/help/matlab/math/constructing-sparse-matrices.html 由于您使用 spdiags 函数来构造 A，Matlab 应该已经将 A 识别为稀疏的，如果您在控制台视图中显示 A，您确实应该看到这样的列表。

对于像你这样的三对角矩阵，L 和 U 矩阵应该已经是稀疏的了。

所以你只需要确保 \ 运算符根据http://au.mathworks.com/help/matlab/ref/mldivide.html 中的规则使用适当的稀疏算法即可。尚不清楚向量 B 是否已经被认为是稀疏的，但您可以将其重铸为对角矩阵，这当然应该被认为是稀疏的。

【讨论】：