使用 PDE 的解来定义另一个 PDE - FEniCS答案

【问题标题】：Using a solution to a PDE, to define another PDE - FEniCS使用 PDE 的解来定义另一个 PDE - FEniCS
【发布时间】：2014-09-05 23:02:46
【问题描述】：

我目前正在尝试通过实现非标准边界条件来求解 FEniCS 中的 Monge-Ampere 方程。

边界条件，要求解的梯度必须将原始域的边界映射到另一个指定域。

当目标域被规定为单位圆时，实现非常简单，我通过将以下内容放入我的系统中来解决它：

+(dot(grad(uh),grad(uh))-1)*vh*ds\ (1)

其中 uh, 是试验函数，vh 是测试函数。

当考虑更复杂的目标空间时，比如正方形 [−1,1]×[−1,1] 事情就变得更难了，因为手工解决不是那么简单，所以我的想法是使用距离函数。

为此，我解决了 Eikonal 方程的稳定版本，其解决方案是有符号距离函数，然后我的想法是将 (1) 替换为：

+E(grad(uh))*vh*ds

其中 E 是 Eikonal 方程的解，但是当我尝试实现它时，我收到一个错误，指出函数需要标量参数，

有没有办法对解决方案进行编程以接受 grad(uh) 作为输入，以二阶微分形式？

感谢大家的宝贵时间！

【问题讨论】：

【解决方案1】：

您必须在公共边界上指定 Neumann 条件（梯度向量），而不是 Dirchelet（潜在标量）。

如果我模拟两个不同区域之间的传导/扩散物理问题，能量守恒将要求边界两侧的通量必须平衡。您将如何在方程式中表达该边界条件？

【讨论】：