使用段树从给定数组中找到最大和子数组

Question

我想从给定的数组中找到最大和的连续子数组。我知道使用 Kadane 算法的动态编程概念找到最大和连续子数组方法的 O(n) 方法。

但是如果范围查询的数量非常大，会花费很多时间。有没有办法使用 Segment-Trees 来解决它，因为它是回答它在 O(log(n)) 时间内解决的范围查询的最佳选择。 谢谢。

Answer 1

虽然@pkacprzak 的回答很好地描述了解决方案，但有些人可能更喜欢代码示例。

#include <iostream>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1<<17; // big power of 2 that fits your data

int n,k;
struct P {ll l, r, ts, bs;}; // left, right, totalsum, bestsum
P p[2*N];

ll maxf(ll a,ll b,ll c) {return max(a,max(b,c));}

P combine(P &cl,P &cr) {
  P node;
  node.ts = cl.ts + cr.ts;
  node.l = maxf(cl.l, cl.ts, cl.ts + cr.l);
  node.r = maxf(cr.r, cr.ts, cr.ts + cl.r);
  node.bs = maxf(cl.bs, cr.bs, cl.r + cr.l);
  return node;
}

void change(int k, ll x) {
  k += N;
  p[k].l = p[k].r = p[k].ts = p[k].bs = x;
  for (k /= 2; k >= 1; k /= 2) {
    p[k] = combine(p[2*k], p[2*k+1]);
  }
}

要在分段树中添加/更改值，请使用change(k, x)（每次调用O(log(n))），其中 k 是位置，x 是值。每次调用change 后，可以从p[1].bs（树的顶部）读取最大子数组的总和。

如果您还需要找到子数组的确切索引，您可以在O(log(n)) 中进行递归自上而下查询，或使用迭代查询对O(log^2(n)) 进行二分搜索。

编辑：如果我们对给定子数组的最大子数组感兴趣，最好构建一个递归自顶向下查询。见：

https://www.quora.com/How-do-I-calculate-the-maximum-sub-segment-sum-in-a-segment-tree

总结一下，分段树可以处理这个问题改变数据和改变我们感兴趣的范围。

Answer 2

根据我对贾斯汀回答的评论，您可以扩充标准段树以实现 O(log(n)) 查询时间和 O(n log(n)) 时间来构建树，即将所有 n 元素插入树中。

这个想法是在每个节点v 中存储的不仅仅是一个值，而是四个：

1. max_value[v] := v`s 子树中的最大连续和
2. left_value[v] := 与 v 的子树对应的范围左边界相邻的最大连续和
3. right_value[v] := 与 v 的子树对应的范围右边界相邻的最大连续和
4. sum[v] := v 的子树中所有元素的总和

为了对节点v 执行更新操作，您必须重新计算max_value[v], left_value[v], right_value[v], sum[v]。这非常简单，我认为您可以自己解决 - 有几个案例需要考虑。

查询操作类似于基本段树中的查询操作。唯一的区别是，在这种情况下，您还必须在计算结果时考虑 left_value[v] 和 right_value[v] - 同样，有一些简单的情况需要考虑。

我希望您能找出省略的细节。如果没有，请告诉我，我会给出更详细的解释。