在图中找到 N 个节点之间的最大传播/距离

Question

给定一个包含 N 个节点（数千个）的图，我需要找到 K 个节点，以使 K 的每对 (K1,K2) 之间的平均路径长度最大化。所以基本上，我想把它们放在离彼此尽可能远的地方。

我将为此使用哪种算法/如何在无需尝试 K 的多个单一组合的情况下对其进行编程？

也作为扩展：如果我现在有 N 个节点，并且我需要在图中放置 2 组节点 K 和 L，以使每对 (L,K) 之间的平均路径长度最大化，我该怎么做这个？

我目前的尝试是只做几个随机放置，然后计算 K 和 L 对之间的平均路径长度，但是这个计算开始需要很多时间，所以我宁愿不花那个花费大量时间评估随机选择的组合。我宁愿花时间获得真正传播最广的组合。

有什么算法可以解决这个问题吗？

Answer 1

坏消息是这个问题是 NP 难的，通过从独立集减少。 （假设单位权重。添加一个连接到所有其他顶点的新顶点；然后我们正在寻找平均距离为 2 的 K 集合。）

如果你决心得到一个精确的解决方案（我不确定你不应该这样做），那么我会尝试分支和绑定，使用 node is/is not one of the K 作为分支决策和粗略的界限（给定 K 的一个子集，找到两个节点，使它们之间的距离和到子集的距离的适当组合最大化，然后将界限设置为包含已知节点间距离的适当加权平均值） .

如果上面的确切算法像 Evgeny 担心的那样在千节点图上阻塞，那么使用farthest-point clustering（链接到设施位置的维基百科页面，描述 FPC）将图切割到可管理的大小，产生一个有希望的小的近似误差。