pnorm(q = (x - $\mu$)/$\sigma$) 是否与 pnorm(q = x, mean = $\mu$, sd = $\sigma$) 不同？答案

【问题标题】：Is pnorm(q = (x - $\mu$)/$\sigma$) ever different from pnorm(q = x, mean = $\mu$, sd = $\sigma$)?pnorm(q = (x - $\mu$)/$\sigma$) 是否与 pnorm(q = x, mean = $\mu$, sd = $\sigma$) 不同？
【发布时间】：2021-03-14 18:13:29
【问题描述】：

在这种情况下，标准化和非标准化随机变量的概率密度会有所不同。例如，在 R

dnorm(x = 0, mean = 1, sd = 2)
dnorm(x = (0 - 1)/2)

然而， pnorm(q = 0, 平均值 = 1, sd = 2) pnorm(q = (0 - 1)/2) 产生相同的值。

当标准化与非标准化时，正态累积密度函数是否会为同一随机变量产生不同的概率？如果是，是否有出现这种差异的特定示例？如果没有，是否有该属性的一般证明？

非常感谢您的帮助和/或见解！

【问题讨论】：

标签： r statistics probability normal-distribution

【解决方案1】：

这不是一个真正的编码问题，但无论如何我都会回答。

简答：是的，它们可能不同。

长答案：

正态分布通常被认为是 y=f(x)，即 x 域上的一条曲线。标准化时，您正在从 x 单位转换为 z 单位。例如，如果 x~N(15,5^2)，则值 10 比平均值小 5 个 x 单位。请注意，这也比平均值小 1 个标准差。标准化时，将 x 转换为 z~N(0,1^2)。现在，当标准化为 z 单位时，示例值 10 变为 -1 值（即，它仍然比平均值小一个标准差）。

因此，x=10 左侧的曲线下面积与 z=-1 左侧的曲线下面积相同。换句话说，这些截止点的累积概率是相同的。

但是，曲线的高度是不同的。设正态分布曲线为 f(x) 和 g(z)。然后 f(10) != g(-1)。在代码中：

dnorm(10, 15, 5) != dnorm(-1, 0, 1)

原因是标准化的行为“扩展”或“挤压”了 f(x) 曲线，使其“适合”在新的 z 域上作为 g(z)。

这里有两个链接可以让您可视化传播/挤压：

希望这会有所帮助！

【讨论】：

谢谢，这很有启发性。假设我知道 x 的方差等于 25 并且我观察到 10 的值。然后说我想评估 x 的哪些平均值与观察值 10 和已知方差 25 最一致。是否有从某种意义上说，使用 dnorm(10, 15, 5) 将产生与使用 dnorm((10 – 15)/5) 相对于均值 \neq 15 的均值 = 15 相同的证据支持？即，我使用基于随机变量 x 的可能性还是基于随机变量 z 的可能性有关系吗？
“与观察值最一致”类似于询问可能性。可能性是参数的函数，取决于数据和模型。因此，在您的示例中，它是 mu 域上的曲线 f(mu)。当您在 mu 空间中“移动”时，可能性会更高或更低。您使用哪个“比例”（x 或 z）并不重要。对于一个数据点 (x=10)，在 mu_x=10 时，可能性最大。同样，对于一个数据点 (z=-1)，在 mu_z=-1 的情况下，可能性最大。