R中马尔可夫链的手动模拟

Question

考虑具有状态空间的马尔可夫链S = {1, 2}，转移矩阵

和初始分布α = (1/2, 1/2)。

1. 模拟马尔可夫链的5个步骤（即模拟X₀、X₁、. . . , X₅).重复模拟 100 次。使用您的模拟结果来解决以下问题。

   • 估计 P(X₁ = 1|X₀ = 1)。将您的结果与确切的概率进行比较。

我的解决方案：

# returns Xn 
func2 <- function(alpha1, mat1, n1) 
{
  xn <- alpha1 %*% matrixpower(mat1, n1+1)

  return (xn)
}

alpha <- c(0.5, 0.5)
mat <- matrix(c(0.5, 0.5, 0, 1), nrow=2, ncol=2)
n <- 10


for (variable in 1:100) 
{
   print(func2(alpha, mat, n))
}

---

如果我运行此代码一次或 100 次（如问题陈述中所述）有什么区别？

我怎样才能从这里找到条件概率？

Answer 1

让

alpha <- c(1, 1) / 2
mat <- matrix(c(1 / 2, 0, 1 / 2, 1), nrow = 2, ncol = 2) # Different than yours

是初始分布和转移矩阵。您的 func2 只找到第 n 步分布，这是不需要的，并且不模拟任何东西。相反，我们可以使用

chainSim <- function(alpha, mat, n) {
  out <- numeric(n)
  out[1] <- sample(1:2, 1, prob = alpha)
  for(i in 2:n)
    out[i] <- sample(1:2, 1, prob = mat[out[i - 1], ])
  out
}

其中out[1] 仅使用初始分布生成，然后对于后续项，我们使用转移矩阵。

那么我们有

set.seed(1)
# Doing once
chainSim(alpha, mat, 1 + 5)
# [1] 2 2 2 2 2 2

因此链从 2 开始并由于指定的转换概率而卡在那里。

我们做了 100 次

# Doing 100 times
sim <- replicate(chainSim(alpha, mat, 1 + 5), n = 100)
rowMeans(sim - 1)
# [1] 0.52 0.78 0.87 0.94 0.99 1.00

最后一行显示了我们以状态 2 而不是 1 结束的频率。这给出了为什么 100 次重复更能提供更多信息的原因之一：我们在状态 2 中只进行了一次模拟，同时重复100 次我们探索了更多可能的路径。

然后可以找到条件概率

mean(sim[2, sim[1, ] == 1] == 1)
# [1] 0.4583333

而真实概率为 0.5（由转移矩阵的左上条目给出）。