使用 eigen3/sparse 的稀疏特征值

Question

在 Eigen3 中，是否有一种独特而有效的方法来查找实数、对称、非常大（例如 10000x10000）稀疏矩阵的特征值和特征向量？稠密矩阵有一个特征值求解器，但它没有利用矩阵的属性，例如这是对称的。此外，我不想密集存储矩阵。

或者（替代）是否有更好的（+更好的文档记录）库来做到这一点？

Answer 1

对于 Eigen，有一个名为 Spectra 的库。正如其网页上所述，Spectra 是使用 C++ 语言重新设计的 ARPACK 库。

与 another answer 中建议的犰狳不同，Spectra 确实支持 long double 和任何其他真正的浮点类型（例如 boost::multiprecision::float128）。

这是一个使用示例（与文档中的版本相同，但适用于不同浮点类型的实验）：

#include <Eigen/Core>
#include <SymEigsSolver.h>  // Also includes <MatOp/DenseSymMatProd.h>
#include <iostream>
#include <limits>

int main()
{
    using Real=long double;
    using Matrix=Eigen::Matrix<Real, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic>;

    // We are going to calculate the eigenvalues of M
    const auto A = Matrix::Random(10, 10);
    const Matrix M = A + A.transpose();

    // Construct matrix operation object using the wrapper class DenseGenMatProd
    Spectra::DenseSymMatProd<Real> op(M);

    // Construct eigen solver object, requesting the largest three eigenvalues
    Spectra::SymEigsSolver<Real,
                           Spectra::LARGEST_ALGE,
                           Spectra::DenseSymMatProd<Real>> eigs(&op, 3, 6);

    // Initialize and compute
    eigs.init();
    const auto nconv = eigs.compute();
    std::cout << nconv << " eigenvalues converged.\n";

    // Retrieve results
    if(eigs.info() == Spectra::SUCCESSFUL)
    {
        const auto evalues = eigs.eigenvalues();
        std::cout.precision(std::numeric_limits<Real>::digits10);
        std::cout << "Eigenvalues found:\n" << evalues << '\n';
    }
}

Answer 2

Armadillo 将使用 eigs_sym 执行此操作

请注意，无论您做什么，计算所有特征值都是一项非常昂贵的操作，通常所做的只是找到 k 个最大或最小的特征值（这就是这样做的）。