核密度估计器（使用高斯核）和 f(x) = 1？

Question

我想将KDE 与Gaussian Kernel 一起使用。如果我是正确的，所有 f(x) 的总和必须是 1（〜舍入）？

我的实现如下所示：

    float K( float const& val)
     {
      const float p=1.0 / std::sqrt( 2.0 * M_PI);
      float result = 0.5 * (val*val);
      result = p * std::exp(- result);

      return result;
     };

std::vector< std::pair<float, float> kde( float *val, int len float h)
{
  std::vector< std::pair<float, float>> density( len );
  const float p = 1.0 / (h * len );

  for(int r=0;r<len;r++)
   {
    float sum = 0;

    for(int i=0;i<len;i++)
     sum += k( (val[r] - val[i]) / h );

    density[r] = std::make_pair( val[r], p*sum );
   }
  return density;
 }

我选择了h > 0。我对 p*sum 是值 val[r] 的概率是否正确？所有概率的总和 > 1（但对我来说看起来不错）。

Answer 1

您在这里误解了关于概率密度的假设。密度积分为一，而它在某些点的值绝对不是 1。

让我们使用您似乎使用的the linked Wikipedia article 中的以下公式来讨论它：

此公式提供在点 x 处评估的密度 f_h(x)。

根据我的审查，您的代码正确地评估了这个数量。但是，您误解了应该为一的数量。作为密度，整个空间上的积分应该产生一个，即

这个属性被称为密度的规范化。

此外，作为一个密度本身，f_h(x) 的每个求和应该在整个空间上积分时产生1/n，当其中还包括归一化常数时。同样，不能保证加法的值。

在一维中，您可以使用梯形规则或其他正交方案轻松确认归一化（--如果您提供一个工作示例，我可以尝试这样做。）