卡尔曼滤波器：测量噪声协方差矩阵和过程噪声如何帮助卡尔曼滤波器的工作，有人可以直观地解释一下吗？

Question

1. 过程噪声协方差和测量噪声协方差如何帮助卡尔曼滤波器更好地发挥作用？
2. 谁能在没有重要方程式和数学的情况下直观地解释一下。

Answer 1

嗯，没有数学很难解释数学事物（如卡尔曼滤波器），但这是我的尝试：

卡尔曼滤波器有两个部分，一个时间更新部分和一个测量部分。在时间更新部分，我们估计观察时的状态；在测量部分，我们将（通过最小二乘法）我们的“预测”（即时间更新的估计值）与测量值相结合，以获得对状态的新估计。

到目前为止，还没有提到噪音。有两种噪声源：一种在时间更新部分（有时称为过程噪声），另一种在测量部分（观察噪声）。在每种情况下，我们需要的是对噪声“大小”的度量，即协方差矩阵。当我们结合 通过测量进行预测。当我们认为我们的预测非常不确定（也就是说，它们有一个大的协方差矩阵）时，组合将更接近于测量而不是预测；另一方面，当我们认为我们的预测非常好（小协方差）时，组合将更接近预测而不是测量。

因此，您可以将过程和观察噪声协方差视为对预测和观察（部分）的信任程度。比如说，增加预测的特定组成部分的方差就是说：少相信这个预测；而增加特定测量的方差是说：少相信这个测量。这主要是一个类比，但可以更精确。一个简单的情况是协方差矩阵是对角的。在这种情况下，测量值和计算值之间的差异的成本，即我们试图最小化的贡献是该差异的平方除以观察方差。因此，观察方差越大，成本越低。

请注意，在测量部分之外，我们还得到了一个新的状态协方差矩阵；当我们计算预测的状态协方差时，这将在下一次更新中使用（连同过程噪声和动态）。

我认为为什么协方差是噪声大小的适当度量的问题相当深刻，因为最小二乘法是结合预测和测量的适当方法。肤浅的答案是，卡尔曼滤波和最小二乘已被发现，几十年来（最小二乘的情况下是几个世纪），在许多应用领域都能很好地工作。在卡尔曼滤波的情况下，我发现它从隐藏的 markobv 模型（T.Minka 的 From Hidden Markov Models to Linear Dynamical Systems，虽然这是相当数学的）推导是令人信服的。在隐马尔可夫模型中，我们试图找到迄今为止给定测量值的状态的（条件）概率； Minka 表明，如果测量是状态的线性函数，并且动力学是线性的，并且所有概率分布都是高斯分布，那么我们就得到了卡尔曼滤波器。