特征值和向量计算中的通缩（幂法）

Question

我有以下（已编辑）代码，用于使用幂级数方法（通过通缩技术）计算小矩阵的所有特征值和向量：

function [eigvect,eigval]=eigen2(A,x0,nit)
% calculates the largest eigenvalue and corresponding eigenvector of
% matrix A by the power method using x0 as the starting vector and
% carrying out nit interactions.
%
eigval=0;
siz=size(A);
siz=siz(1);
for m=1:siz
x = x0;t=x0;
for n = 1:nit
xnew = A*x;
lambda = norm(xnew,inf);
tnew=transpose(A)*t;% computing left eigenvectors
x1=x;
x=xnew/lambda;
x2=x;
t1=t;
t=tnew/lambda;
t2=t;
end
x = x/(norm(x)); %normalise x
t=t/(norm(t));
eigvect(:,m)=x;
eigval(m)=lambda;
teigvect(:,m)=t;
% eigvect
Anew=A-x*transpose(x)*A*x*transpose(x);
A=Anew;
fprintf('\n lambda= %f',lambda);
end
teigvect
fprintf('n = %4d normalised x = %g %g %g\n', n, x');
% eigval
%end

该函数正确计算特征值，但不正确计算非显性特征值的相应特征向量。

有人能指出错误在哪里吗？

EDIT1：由于左右特征向量在对称矩阵中是相等的，所以我在Anew的计算中不涉及左特征向量。

测试用例：

使用matlab的内置特征函数计算：

A=[ 2 1 2; 1 2 1; 2 1 2];

[v,d]=eig(A)

v =

    0.7071    0.3251    0.6280
    0.0000   -0.8881    0.4597
   -0.7071    0.3251    0.6280

d =

   -0.0000         0         0
         0    1.2679         0
         0         0    4.7321

eigen2 函数的结果：

[r,s]=eigen2(A,[3 7 8]',100)

 lambda= 4.732051
 lambda= 1.267949
 lambda= 0.000000
r =

    0.6280   -0.3251    0.7071
    0.4597    0.8881         0
    0.6280   -0.3251    0.7071

s =

    4.7321    1.2679    0.0000

Answer 1

是幂法，这里没有幂级数。

---

一个明显的问题是你假设左特征向量等于右特征向量。这仅适用于对称（和正常）矩阵。如果您使用任何其他矩阵，那么特征值的计算正确是一个奇迹。