计算两张图像之间的模糊核

Question

与标准（并且更具挑战性）去模糊和超分辨率场景不同，我可以访问原始（清晰）图像G 和它的模糊版本B。我只是在寻找模糊内核h。所以因为B是使用真实相机拍摄的，所以关系是：

B=G*h+N   （其中* 表示卷积，N 是一些加性噪声）

当然，这是一个过度约束的问题，因为与 G 和 B 相比，h 的尺寸较小，因此这对图像中的每几个像素都会在 h 的条目上生成一个方程。

但实际实现这一点的最简单方法是什么？到目前为止我的想法：

• 移动到频域并进行除法（正如this answer 建议的那样）。但这不可避免地会因为噪声而在数值上不稳定，对吧？
• 互相关 - 我只找到了一维信号的示例，不知道如何在图像的二维情况下使用。
• 使用一些优化程序仔细构造一个过度约束的线性系统G'h'=B' 寻找h'，它是内核h 条目的向量版本。但这非常繁琐，矩阵G' 和向量B' 的大小势必很大。

从 C++ 到 MATLAB 的任何编程语言的具体示例都非常有用。

Answer 1

使用@Shai的相关建议，我现在可以给出详细的答案了。

我建议的选项 2 和 3 实际上是相同的，并且显然是正确的方法。这也是@Shai 链接的建议论文的 E 步骤中所做的。提出过度约束问题其实很简单。

为了正确地提出这些方程，我们使用以下事实：每个块的点积（内核大小以G 中的某个像素为中心）与h 的 180 度旋转版本应该等于@987654323 中的相应像素@。这直接源于B 和G 通过卷积相关的事实，因此G 中的块通过互相关与B 中的像素相关（因此是180 度旋转）。

MATLAB 代码现在变为：

%inputs: B,G - gray level blurred and sharp images respectively (double)
%        szKer - 2 element vector specifying the size of the required kernel
%outputs: mKer - the recovered kernel, 
%         imBsynth - the sharp image convolved with the recovered kernel
%
%example usage:  mKer = calcKer(B, G, [11 11]);

function [mKer, imBsynth] = calcKer(B, G, szKer)

  %get the "valid" pixels from B (i.e. those that do not depend 
  %on zero-padding or a circular assumption
  imBvalid = B(ceil(szKer(1)/2):end-floor(szKer(1)/2), ...
      ceil(szKer(2)/2):end-floor(szKer(2)/2));

  %get a matrix where each row corresponds to a block from G 
  %the size of the kernel
  mGconv = im2col(G, szKer, 'sliding')';

  %solve the over-constrained system using MATLAB's backslash
  %to get a vector version of the cross-correlation kernel
  vXcorrKer = mGconv \ imBvalid(:);

  %reshape and rotate 180 degrees to get the convolution kernel
  mKer = rot90(reshape(vXcorrKer, szKer), 2);

  if (nargout > 1)
      %if there is indeed a convolution relationship between B and G
      %the following will result in an image similar to B
      imBsynth = conv2(G, mKer, 'valid');
  end

end

我还发现在实际场景中可能需要对解决方案进行一些限制。示例是强制内核为正、平滑或对称。合并这些的确切方法超出了这个问题的范围，但在求解vXcorrKer 时通常会以线性约束或正则化元素的形式出现。