使用 1D DCT 的 2D 离散余弦变换

Question

我正在尝试通过使用将 2D 离散余弦变换实现到图像 一维 DCT 操作。如果我将其与dct2 MATLAB 函数进行比较，我的输出不正确。我不明白我的代码出了什么问题以及发生在哪里。

如果有人能指出错误或任何其他建议，那将非常有帮助。

这是我用 MATLAB 编写的代码

% main function
signal=rand(100);
signal_dct=myDCT(signal);
figure; imshow((signal_dct));

% function to calculate 2D DCT of an image
function res=myDCT(signal)

    signal=double(signal);

    l=size(signal,1);

    res=zeros(l);  %initialize the final result matrix

    for k=1:l     %calculate 1D DCT of each row of image
        res(k,:)=mdct(signal(k,:));  
    end

    for k=1:l   %calculate 1D DCT of each column of image
        res(:,k)=mdct(res(:,k));
    end
end

%% function to calculate 1D DFT of a 1D signal
function res=mdct(signal)

    l=size(signal,1);

    for i=1:l

        if i==1   %for signal index of 1, alpha is 1/sqrt(l)
            alpha=sqrt(1/l);
        else   %for signal index of greater than 1
            alpha=sqrt(2/l);
        end

        j=[1:l];
        % summation calculates single entry of res by applying the  
        % formula of DCT on the signal
        summation=sum(sum(signal(j)*cos((pi*(2*(j-1)+1)*(i-1))/(2*l))));
        res(i)=alpha*summation;        
    end
end

Answer 1

您是正确的，因为 2D DCT 是可分离的。您只需先将一维 DCT 应用于每一行，然后获取中间结果并将其应用于列。但是，您有两个基本错误。让我们来看看它们。

错误 #1 - DCT 的大小不正确

具体来说，看看你的mdct函数中的这个语句：

l=size(signal,1);

因为您要对每一行应用 DCT，然后是每一列，所以只有在将 DCT 应用到 列 时，上述方法才有效。 size(signal,1) 肯定会给你输入向量的长度如果输入是一列。但是，如果您的输入是 行，那么 size(signal,1) 的输出将是 1。因此，您应该将size(signal,1) 替换为numel，这样您就可以确保获得元素的总数——无论输入是行还是列。

此外，如果您想让代码兼容以在 DCT 循环中进行求和，则应确保输入是行向量不管。因此，请改为：

l = numel(signal);
signal = signal(:).';

第一行确定我们的输入信号有多少元素，第二行确保我们有一个行向量。这是由(:) 完成的，将元素展开为列向量，然后在之后执行.' 以确保我们转置结果以获得行向量。

错误 #2 - 求和语句不正确

接下来，您将不得不在求和中进行逐元素乘法以获得您要查找的内容。您也不需要额外的sum 呼叫。这是多余的。因此，将您的求和语句修改为：

summation=sum(signal.*cos((pi*(2*(j-1)+1).*(i-1))/(2*l)));

没有必要使用signal(j)，因为j 跨越了向量的整个长度，而您只需使用signal 即可。

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完成这些更改后，我在较小的矩阵上执行此操作以确保我们得到相同的结果：

rng(123123);
signal=rand(7);
signal_dct=myDCT(signal);
signal_dct2 = dct2(signal);

最后一行代码调用dct2，以便我们可以比较您自定义函数的结果和dct2 给我们的结果。

我们得到：

>> signal_dct

signal_dct =

    3.7455   -0.1854   -0.1552    0.3949    0.2182   -0.3707    0.2621
   -0.2747    0.1566   -0.0955    0.1415    0.3156   -0.0503    0.8581
   -0.2095    0.0233   -0.2769   -0.4341   -0.1639    0.3700   -0.2282
   -0.0282    0.0791    0.0517    0.4749   -0.0169   -0.4327    0.0427
   -0.4047   -0.4383    0.3415   -0.1120   -0.0229    0.0310    0.3767
   -0.6058   -0.0389   -0.3460    0.2732   -0.2395   -0.2961    0.1789
   -0.0648   -0.3173   -0.0584   -0.3461   -0.1866    0.0301    0.2710

>> signal_dct2

signal_dct2 =

    3.7455   -0.1854   -0.1552    0.3949    0.2182   -0.3707    0.2621
   -0.2747    0.1566   -0.0955    0.1415    0.3156   -0.0503    0.8581
   -0.2095    0.0233   -0.2769   -0.4341   -0.1639    0.3700   -0.2282
   -0.0282    0.0791    0.0517    0.4749   -0.0169   -0.4327    0.0427
   -0.4047   -0.4383    0.3415   -0.1120   -0.0229    0.0310    0.3767
   -0.6058   -0.0389   -0.3460    0.2732   -0.2395   -0.2961    0.1789
   -0.0648   -0.3173   -0.0584   -0.3461   -0.1866    0.0301    0.2710

---

如您所见，两个结果都匹配。我觉得不错！

---

为了确保我们保持一致，这是您的两个函数的完整代码清单，以及我所做的修改：

% function to calculate 2D DCT of an image
function res=myDCT(signal)

    signal=double(signal);

    l=size(signal,1);

    res = zeros(l);

    for k=1:l     %calculate 1D DCT of each row of image
        res(k,:)=mdct(signal(k,:));  
    end

    for k=1:l   %calculate 1D DCT of each column of image
        res(:,k)=mdct(res(:,k));
    end
end

%% function to calculate 1D DFT of a 1D signal
function res=mdct(signal)

    %// Change
    l = numel(signal);
    signal = signal(:).';

    for i=1:l

        if i==1   %for signal index of 1, alpha is 1/sqrt(l)
            alpha=sqrt(1/l);
        else   %for signal index of greater than 1
            alpha=sqrt(2/l);
        end

        j=[1:l];
        % summation calculates single entry of res by applying the  
        % formula of DCT on the signal
        %// Change
        summation=sum(signal.*cos((pi*(2*(j-1)+1).*(i-1))/(2*l)));
        res(i)=alpha*summation;        
    end
end