numpy.fft.fft 是如何工作的？答案

【问题标题】：How does numpy.fft.fft work?numpy.fft.fft 是如何工作的？
【发布时间】：2026-01-09 17:50:01
【问题描述】：

我目前正在尝试从 numpy 中了解 fft 函数。为此，我测试了以下假设：
我有两个函数，f(x) = x^2 和 g(x) = f'(x) = 2*x。根据傅立叶变换定律和 wolfram alpha，它应该是 G(w) = 2pi*i*F(w)（前因子可以变化，但应该只有一个常数因子）。在python中实现时，我写了

import numpy as np
def x2(x):
    return x*x
def nx(x):
    return 2*x

a = np.linspace(-3, 3, 16)
a1 = x2(a)
a2 = nx(a)

b1 = np.fft.fft(a1)
b2 = np.fft.fft(a2)

c = b1/b2

现在我预计 c 的值几乎不变，但我得到了

array([  1.02081592e+16+0.j        ,   1.32769987e-16-1.0054679j ,
         4.90653893e-17-0.48284271j,  -1.28214041e-16-0.29932115j,
        -1.21430643e-16-0.2j       ,   5.63664751e-16-0.13363573j,
        -5.92271642e-17-0.08284271j,  -4.21346622e-16-0.03978247j,
        -5.55111512e-16-0.j        ,  -5.04781597e-16+0.03978247j,
        -6.29288619e-17+0.08284271j,   8.39500693e-16+0.13363573j,
        -1.21430643e-16+0.2j       ,  -0.00000000e+00+0.29932115j,
        -0.00000000e+00+0.48284271j,   1.32769987e-16+1.0054679j ])

我的错误在哪里，我该怎么做才能按预期使用 fft？

【问题讨论】：

这里不正确的部分是G(w) = 2 pi i F(w)。应该是G(w) = 2 pi i w F(w)。
@DietrichEpp：这些数组中的 w 是什么，它也是虚构的吗？
@arc_lupus w 是等价于x 的频率空间。在这种情况下，您在原始空间中有x^2，它本身没有频率（至少不是在易于理解的意义上），因此您将获得大量不同的峰值来表示x^2。例如，如果f(x) = sin(x)，那么您将有一个很好的、简单的 delta func 在 1 处捕获sin(x) 中的简单频率。

标签： python numpy signal-processing fft

【解决方案1】：

您提供的属性适用于Continuous Fourier transform (CFT)。 FFT计算的是Discrete Fourier transform（DFT），与CFT相关但不完全等价。

确实，在某些条件下，DFT 与 CFT 成正比：即对一个在样本限制之外为零的函数进行充分采样（参见例如 this book 的附录 E）。

对于您上面提出的函数，这两个条件都不成立，因此 DFT 与 CFT 不成比例，您的数值结果反映了这一点。

以下代码使用适当采样的带限函数通过 FFT 确认您感兴趣的关系：

import numpy as np

def f(x):
    return np.exp(-x ** 2)
def fprime(x):
    return -2 * x * f(x)

a = np.linspace(-10, 10, 100)
a1 = f(a)
a2 = fprime(a)

b1 = np.fft.fft(a1)
b2 = np.fft.fft(a2)
omega = 2 * np.pi * np.fft.fftfreq(len(a), a[1] - a[0])

np.allclose(b1 * 1j * omega, b2)
# True

【讨论】：