非对数base2数的Matlab FFT（快速傅里叶变换）函数答案

【问题标题】：Matlab FFT (Fast Fourier Transform) function of non log-base2 numbers非对数base2数的Matlab FFT（快速傅里叶变换）函数
【发布时间】：2012-08-21 11:34:29
【问题描述】：

我正在开发一个应用程序，它使用Apple's Accelerate Framework FFT 函数，我试图让它模仿Matlab's FFT function 的功能。我将当前代码设置为输出方式与我在 matlab 中的输出方式完全相同。唯一不输出相同的情况是数据数组中的元素数量！= 以 2 为底的对数（FFT 技术上必需的）。我想知道是否有人知道 Matlab 函数是如何处理这种情况的。如果我使用苹果代码来做，它会产生不同的结果。

注意：我不是简单地调用 fft(x)。我也 FFT 移位并取绝对值并将其平方。我也在苹果代码中反映了这些，因为它们不受 FFT 的直接影响。它们是事后调用的。

示例 1 - 16 个元素（对数基数 2）：类似的输出

Matlab 调用：

x = 1:16;
Fxx = abs(fftshift(fft(x))).^2;

Fxx =

  Columns 1 through 7

64    66.5322    74.9807    92.5736    128    207.3490    437.0193

 Columns 8 through 14

1681.5451    18496    1682.5451    437.0193    207.3490    128    92.5736

  Columns 15 through 16

74.9807    66.5322

*Apple 代码因长度而省略

苹果输出：

Fxx[0] = 64.000000
Fxx[1] = 66.532232
Fxx[2] = 74.980664
Fxx[3] = 92.573612
Fxx[4] = 128.000000
Fxx[5] = 207.349044
Fxx[6] = 437.019336
Fxx[7] = 1681.545112
Fxx[8] = 18496.000000
Fxx[9] = 1681.545112
Fxx[10] = 437.019336
Fxx[11] = 207.349044
Fxx[12] = 128.000000
Fxx[13] = 92.573612
Fxx[14] = 74.980664
Fxx[15] = 66.532232

示例 2 - 10 个元素（不是对数基数 2）：不同的输出

Matlab 调用：

x = 1:10;
Fxx = abs(fftshift(fft(x))).^2;

Fxx = 

Columns 1 through 7

25    27.6393    38.1966    72.3607    261.8034    3025    261.8034

Columns 8 through 10

72.3607    38.1966    27.6393

*Apple 代码因长度而省略

苹果输出：

Fxx[0] = 16.000000
Fxx[1] = 45.250000
Fxx[2] = 18.745166
Fxx[3] = 32.000000
Fxx[4] = 109.254834
Fxx[5] = 1296.000000
Fxx[6] = 109.254834
Fxx[7] = 32.000000
Fxx[8] = 18.745166
Fxx[9] = 45.250000

如您所见，它们在第一个示例和第二个示例中显然产生了相同的输出。我已经测试了正输入和负输入，它们唯一不同的时候是它们不是以 2 为基数的。有谁知道 Matlab 如何处理这个问题？也许它用 0 填充数组，直到它的对数基数为 2，然后对某些点进行平均？我做了很多搜索，无法弄清楚在这种特殊情况下他们做了什么来获得他们的输出。

【问题讨论】：

您如何称呼 Accelerate FFT？在原始的主要 Accelerate FFT 调用中，例如 vDSP_fft_zop，长度作为整数传递，该整数是元素数量的以二为底的对数。因此，每个长度都是 2 的幂。有支持其他长度的新 DFT 例程（“FFT”是执行 DFT 数学函数的算法的名称，因此每个 FFT 都是 DFT，而 DFT 更通用），并且有专门长度的旧例程（vDSP_fft3_zop 和 vDSP_fft5_zop）。 DFT 例程支持特定长度 f*2^n，其中 f 为 3、5 或 15。
所有 Accelerate FFT/DFT 例程都执行相同的功能，从输入向量 h 生成输出向量 H，使得 H[k] = sum(e^(-2*pi ij*k/N)*h[j], 0
请注意，对于 FFT，2 的幂不是“技术上必要的”。这是存在最有效实现的情况之一，但还有许多其他算法被认为是 FFT，其大小是许多小素数的复合乘积，即使在某些因素较大的情况下，加速基于字面数学定义的过度实现可能很重要。
@twalberg: 对，“快速” (O(n lg n)) 傅立叶变换适用于每个尺寸。

标签： matlab fft accelerate-framework vdsp

【解决方案1】：

来自official MATLAB documentation：

FFT 函数（fft、fft2、fftn、ifft、ifft2、ifftn）基于名为 FFTW 的库。

为了在 N 是复合的（即 N = N₁N₂ 时）计算 N 点 DFT，FFTW 库使用 @ 分解问题987654323@，首先计算N₁个大小为N₂的变换，然后计算N₂个大小为N_{1的变换子>.}

当 N 是质数时，FFTW 库首先使用 Rader's algorithm 将 N 点问题分解为三个 (N – 1) 点问题。然后，它使用上述 Cooley-Tukey 分解来计算 (N – 1) 点 DFT。

我不确定 Apple 的 Accelerate Framework 如何计算此类 FFT，但我更喜欢 MATLAB 来产生正确的结果。

【讨论】：

【解决方案2】：

这并没有解决您的问题，但我注意到计算。如果您对结果进行平方，绝对值是一种浪费的操作。如果速度是一个问题，把它拿出来。此外，不是计算 x^2 而是计算 x*x。您可以更快地获得相同的结果。不知道效率差异是否会很明显，但是当更便宜同样简单或更简单时，计算上更昂贵是没有意义的。

【讨论】：