如何计算 3D 坐标的线性索引，反之亦然？

Question

如果我有一个点 (x, y z)，我如何找到该点的线性索引 i？我的编号方案是 (0,0,0) is 0, (1, 0, 0) is 1, . . ., (0, 1, 0) 是最大 x 维度, .... 另外，如果我有一个线性坐标 i，我如何找到 (x, y, z)？ 我似乎在谷歌上找不到这个，所有的结果都充满了其他不相关的东西。谢谢！

Answer 1

如果你的坐标没有上限，你可以从origo和向外编号。一层一层。

(0,0,0) -> 0
(0,0,1) -> 1
(0,1,0) -> 2
(1,0,0) -> 3
(0,0,2) -> 4
   :       :
(a,b,c) -> (a+b+c)·(a+b+c+1)·(a+b+c+2)/6 + (a+b)·(a+b+1)/2 + a

逆向更难，因为您必须求解一个 3 次多项式。

m1 = InverseTetrahedralNumber(n)
m2 = InverseTriangularNumber(n - Tetra(m1))
a = n - Tetra(m1) - Tri(m2)
b = m2 - a
c = m1 - m2

在哪里

InverseTetrahedralNumber(n) = { x ∈ ℕ | Tetra(n) ≤ x < Tetra(n+1) } 
Tetra(n) = n·(n+1)·(n+2)/6 
InverseTriangularNumber(n) = { x ∈ ℕ | Tri(n) ≤ x < Tri(n+1) } 
Tri(n) = n·(n+1)/2

InverseTetrahedralNumber(n) 可以通过large analytic solution 计算得出，也可以使用some numeric method 进行搜索。

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这是我对代数解决方案 (javascript) 的尝试。我正在使用替换 p = a+b+c、q = a+b、r = a 来简化方程。

function index(a,b,c) {
    var r = a;
    var q = r + b;
    var p = q + c;
    return (p*(p+1)*(p+2) + 3*q*(q+1) + 6*r)/6;
}

function solve(n) {
    if (n <= 0) {
        return [0,0,0];
    }

    var sqrt = Math.sqrt;
    var cbrt = function (x) { return Math.pow(x,1.0/3); };

    var X = sqrt(729*n*n - 3);
    var Y = cbrt(81*n + 3*X);
    var p = Math.floor((Y*(Y-3)+3)/(Y*3));
    if ((p+1)*(p+2)*(p+3) <= n*6) p++;
    var pp = p*(p+1)*(p+2);

    var Z = sqrt(72*n+9-12*pp);
    var q = Math.floor((Z-3)/6);
    if (pp + (q+1)*(q+2)*3 <= n*6) q++;
    var qq = q*(q+1);

    var r = Math.floor((6*n-pp-3*qq)/6);
    if (pp + qq*3 + r*6 < n*6) r++;

    return [r, q - r, p - q];
}

Answer 2

有几种方法可以将 3d 坐标映射到单个数字。这是一种方法。

某个函数 f(x,y,z) 给出坐标 (x,y,z) 的线性索引。它有一些我们想要导出的常数 a,b,c,d，这样我们就可以编写一个有用的转换函数。

f(x,y,z) = a*x + b*y + c*z + d

您已指定 (0,0,0) 映射到 0。所以：

f(0,0,0) = a*0 + b*0 + c*0 + d = 0
d = 0
f(x,y,z) = a*x + b*y + c*z

这就解决了。 您已指定 (1,0,0) 映射到 1。所以：

f(1,0,0) = a*1 + b*0 + c*0 = 1
a = 1
f(x,y,z) = x + b*y + c*z

这就解决了。 让我们任意决定 (MAX_X, 0, 0) 之后的下一个最大数是 (0,1,0)。

f(MAX_X, 0, 0) = MAX_X
f(0, 1, 0) = 0 + b*1 + c*0 = MAX_X + 1
b = MAX_X + 1
f(x,y,z) = x + (MAX_X + 1)*y + c*z

这就解决了。 让我们任意决定(MAX_X, MAX_Y, 0)之后的下一个最大数是(0,0,1)。

f(MAX_X, MAX_Y, 0) = MAX_X + MAX_Y * (MAX_X + 1)
f(0,0,1) = 0 + (MAX_X + 1) * 0  + c*1 = MAX_X + MAX_Y * (MAX_X + 1) + 1
c = MAX_X + MAX_Y * (MAX_X + 1) + 1
c = (MAX_X + 1) + MAX_Y * (MAX_X + 1)
c = (MAX_X + 1) * (MAX_Y + 1)

现在我们知道了 a、b、c 和 d，我们可以编写如下函数：

function linearIndexFromCoordinate(x,y,z, max_x, max_y){
    a = 1
    b = max_x + 1
    c = (max_x + 1) * (max_y + 1)
    d = 0
    return a*x + b*y + c*z + d
}

您可以通过类似的逻辑从线性索引中获取坐标。我有一个非常棒的演示，这个页面太小而无法包含。所以我就跳过数学课，只给你最后的方法。

function coordinateFromLinearIndex(idx, max_x, max_y){
    x =  idx % (max_x+1)
    idx /= (max_x+1)
    y = idx % (max_y+1)
    idx /= (max_y+1)
    z = idx
    return (x,y,z)
}