最小化矩阵的最小和最大列和的差异答案

【问题标题】：Minimizing difference of min & max column sums of a matrix最小化矩阵的最小和最大列和的差异
【发布时间】：2015-05-04 14:26:36
【问题描述】：

给定一个正整数矩阵（非方形），其中同一行上的所有元素都是可置换的，问题是最小化列的最大和最小和之间的差异。

例如，

  9  5  7        5  7  9      
  9  3  4   ~>   9  4  3
 10  5  9        5 10  9
----------      ----------
 28 13 20       19 21 21

 28-13= 15      21-19= 2

答案是 2。

我尝试天真地对其进行排序（结合相邻行的最小值和最大值），这对于像 3x3 这样的小矩阵给出了正确的结果，但是对于更大的数据（高达 ~30x30），什么可以工作？是否有我无法应用的通用解决方案？

【问题讨论】：

标签： algorithm matrix

【解决方案1】：

不幸的是，通过 partition problem 的减少，这个问题是 NP-hard。在分区问题中，您得到一个数字列表，并想确定是否有办法将这些数字分成两个不相交的组，以便这些数字的总和相等。

您可以将分区问题的一个实例编码为您的问题的一个实例，如下所示：创建一个 n × 2 矩阵，其中每一行包含集合中的一个数字和一个 0。例如，给定集合 {1 , 3, 5, 7, 9}，你会做矩阵

如果您考虑一下，在此处排列行将返回两列，可以将它们视为您已将数字划分为的两组。如果列之间的最小差异为 0，则该集合可以划分为两个相等的子集。如果不是，则不能对集合进行分区。因此，最小化 min 和 max 列之间的差异可以让您将分区问题作为一种特殊情况来解决。

由于这个问题是 NP 难题，除非 P = NP，否则您将无法找到任何简单的多项式时间算法来解决它。不过，您也许可以开发一些启发式方法来击败蛮力解决方案。

希望这会有所帮助！

【讨论】：