我怎样才能优化这个列表理解？

Question

我想从一个列表中生成所有可能的对，限制为 (a,b) == (b,a) 和 ((a,b),(c,d)) = = ((c,d),(a,b)) 对于所有 a、b、c、d。此外，我可以假设我作为参数提供的列表中的所有元素都是不同的。

我做的第一件事就是写下这个列表理解：

pairsOfPairs :: [a] -> [((a,a),(a,a))]
pairsOfPairs xs = [((w,x),(y,z)) | w <- xs, x <- xs, y <- xs, z <- xs,
                      w < x, y < z, w < y, w /= z, x /= y, x /= z]

这具有惯用的优点，但速度很慢（分析表明，接近 90% 的运行时间都花在了这个函数和另一个类似的函数上）。

缓慢的原因是，对于一个包含 n 个元素的列表，它会生成 n^4 对候选对，但限制最终将其缩减为 n!/(8 * (n-4)!)，这意味着我们至少做了 8 倍的工作量。

有没有办法重写函数pairsOfPairs 来提高速度？显然它仍然是 O(n^4)，但我希望降低常数。

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编辑：事实上，我几乎总是用长度为 5 的列表来调用这个函数，这意味着结果中有 5!/8 = 15 个元素，但是该函数会生成一个5^4 = 625 个元素作为中间步骤。如果我能消除所有这些中间元素，我将因此获得大约 40 倍的加速！

Answer 1

减少工作量的简单方法是尽早过滤。

pairsOfPairs :: Ord a => [a] -> [((a,a),(a,a))]
pairsOfPairs xs = [((w,x),(y,z)) | w <- xs, x <- xs, w < x, y <- xs, w < y, x /= y, 
                                   z <- xs, y < z, w /= z, x /= z]

通过在条件可用时立即检查条件，我们避免了 (w,x) 和 x <= w 等每对的 O(n^2) 工作。这还不错。

但是通过预处理列表可以获得更多，如果它是排序的，我们可以通过选择像这样的对来避免几乎所有不必要的工作

ordPairs :: [a] -> [(a,a)]
ordPairs (x:xs) = [(x,y) | y <- xs] ++ ordPairs xs
ordPairs [] = []