编写迭代函数来计算数学序列

Question

对于家庭作业，我需要编写两个函数来计算相同的数学序列，递归和迭代版本。递归版编程成功了，但是不知道怎么实现迭代版。

（这是我第一次用C语言编程。）

递归版本：

float sequence(int n)
{
    float x = 1.0;
    
    if(n>=1)
    {
        float temp = sequence(n-1);
        x = temp+1/temp;
    }
    return x;
}

如果代码有效，我必须找到 sequence(0) = 1, sequence(1) = 2, sequence(3) = 2.5, sequence(4) = 2.9,..., sequence(100) ~ 14.284066.

另外，根据我的教授的说法，代码必须足够优化（时间复杂度？）并且没有明显的语义问题（太容易发现）。

您能帮我实现迭代版本并提出任何建议吗？

所以，如果这个问题已经被问过了，对不起，请给我链接。

另外，我感谢您的宝贵时间，

真诚的。

Answer 1

您的递归以解构方式工作，从n 开始，然后通过递归调用向后工作，直到达到基本情况。对于基本情况，它返回已知的答案，并在基本情况之上的每一层使用返回的结果来评估方程。

对于迭代，您希望从基本情况到n 进行建设性工作。在每次迭代中，当前值用于更新上一次迭代的结果。

您使用了pseudocode 标记，所以我在Ruby 中提供了它（这实际上是伪代码，但可以运行以检查答案）。你可以自己翻译成C来加强你的理解。

def recursive(n)
  return 1.0 if n < 2
  x = recursive(n - 1)
  return x + 1 / x
end

def iterative(n)
  x = 1.0
  if n > 1
    (n - 1).times { x += 1.0 / x }
  end
  return x
end

# Test it out
(0..10000).each { |input| puts "#{recursive(input)}\t#{iterative(input)}"}

我已经测试过，对于n，两者都返回相同的答案，最多可达 10000。

Answer 2

我看出来了，显然是Fractional Chromatic Number 序列。

#include <stdio.h>

double seqrec(unsigned n) {
    if (n < 2) return 1;
    double prev = seqrec(n - 1);
    return prev + 1 / prev;
}

double seqiter(unsigned n) {
    double numerator = 1, denominator = 1;
    for (unsigned k = 2; k <= n; k++) {
        double newnumerator = numerator*numerator + denominator*denominator;
        denominator = numerator*denominator;
        numerator = newnumerator;
        // avoid nan, get numbers down to a reasonable level :-)
        while (denominator > 2) {
            numerator /= 2;
            denominator /= 2;
        }
    }
    return numerator / denominator;
}

int main(void) {
    for (int k = 1; k < 49; k++) {
        printf("%d ==> %f, %f\n", k, seqrec(k), seqiter(k));
    }
}

输出如下

1 ==> 1.000000, 1.000000 2 ==> 2.000000, 2.000000 3 ==> 2.500000, 2.500000 4 ==> 2.900000, 2.900000 5 ==> 3.244828, 3.244828 6 ==> 3.553010, 3.553010 7 ==> 3.834462、3.834462 8 ==> 4.095255、4.095255 9 ==> 4.339440, 4.339440 10 ==> 4.569884, 4.569884 11 ==> 4.788708, 4.788708 12 ==> 4.997533, 4.997533 13 ==> 5.197631, 5.197631 14 ==> 5.390027, 5.390027 15 ==> 5.575555, 5.575555 16 ==> 5.754909, 5.754909 17 ==> 5.928674、5.928674 18 ==> 6.097345, 6.097345 19 ==> 6.261351, 6.261351 20 ==> 6.421061, 6.421061 21 ==> 6.576799, 6.576799 22 ==> 6.728848, 6.728848 23 ==> 6.877462, 6.877462 24 ==> 7.022865, 7.022865 25 ==> 7.165257, 7.165257 26 ==> 7.304819, 7.304819 27 ==> 7.441715, 7.441715 28 ==> 7.576093, 7.576093 29 ==> 7.708087, 7.708087 30 ==> 7.837821, 7.837821 31 ==> 7.965407, 7.965407 32 ==> 8.090950, 8.090950 33 ==> 8.214545, 8.214545 34 ==> 8.336280, 8.336280 35 ==> 8.456238, 8.456238 36 ==> 8.574494, 8.574494 37 ==> 8.691119, 8.691119 38 ==> 8.806179, 8.806179 39 ==> 8.919735, 8.919735 40 ==> 9.031846, 9.031846 41 ==> 9.142565, 9.142565 42 ==> 9.251944, 9.251944 43 ==> 9.360029, 9.360029 44 ==> 9.466867, 9.466867 45 ==> 9.572498, 9.572498 46 ==> 9.676964, 9.676964 47 ==> 9.780302, 9.780302 48 ==> 9.882549, 9.882549