C中按位运算的模运算

Question

说明

定义函数unsigned mod(unsigned a, unsigned b, unsigned c)；作用是计算并返回a*b%c的结果。测试a、b、c的范围要求大于0小于2^31，程序不能使用64位整数（如long long类型或__int64）求解。

问题：a*b 可能溢出（超出 32 位 unsigned int 类型的表示范围）。为了解决这个问题，可以使用以下算法。 假设无符号变量b的每个二进制位为xi(i=0,1,…,31)，i=0为最低位，i=31为最高位，则

和

上式中，a*xi的结果要么是a要么是0； *2 运算可以通过左移1位来实现（小于2^31的整数 *2 结果必须小于2^32，不会溢出）； %c的结果小于c，c小于2^31，和a之和不会溢出。 编写一个完整的程序，通过迭代的方式实现上述算法。

我的代码

#pragma warning(disable:4996)
#include <stdio.h>

unsigned mod(unsigned a, unsigned b, unsigned c) {
    unsigned sum = a * ((b >> 30) & 1);
    for (int i = 29; i >= 0; i--) {
        sum = (sum << 1) % c + a * ((b >> i) & 1);
    }
    return sum % c;
}

int main() {
    //to achieve the subject requirements
    unsigned a, b, c;
    printf("Input unsigned integer numbers a, b, c:\n");
    scanf("%u %u %u", &a, &b, &c);
    printf("%u*%u%%%u=%u\n", a, b, c, mod(a, b, c));

    //to verify output results
    unsigned long long ab, bb, cb;
    ab = a;
    bb = b;
    cb = c;
    printf("%llu*%llu%%%llu=%llu", ab, bb, cb, ab * bb % cb);
}

问题

用较小的数字（如 100*500/3）进行计算时，结果是正确的。但是当数字接近问题的上限时（如2147483647*2147483647/3），你会得到错误的答案。我不知道这是为什么，因为我只是根据问题中给出的公式进行编程，我不知道数学原理。

Answer 1

正如@Uduru 已经指出的那样，sum 可能会变得大于 2^31，因此，左移将导致溢出。

为防止这种情况发生，请记住以下几点：左移 1 与乘以 2 相同。因此，(sum << 1) % c 与 (sum * 2) % c 相同。现在，模数规则如下：

(a * b) mod c == ((a mod c) * (b mod c)) mod c. 

因此您可以将代码更改为以下内容。

sum = ((sum % c) << 1) % c + a * ((b >> i) & 1);

因为c保证小于2^31（根据引用部分），所以sum % c也保证小于2^31。

Answer 2

问题出在这里：

在mod() 中，您得到sum = (sum << 1) % c + a * ((b >> i) & 1);，
而sum 的值可能与a 一样大（又名，32 位无符号整数）。

当sum大于2^31（大于0b'1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000）时，
左移仍会导致溢出。