如何在没有循环的情况下解决这个问题？

Question

我们给定了 3 个数字 y、x 和 n。我们被要求在 1 <= k <= n 和 k % x = y 的情况下找到最大的 k。 例如： 输入：1 2 100 输出：99

我能写的是：

#include <stdio.h>
int main()
{
   int y, x, n, max = 1;
   scanf("%d %d %d", &y, &x, &n);
   for (int k = 1; k <= n; k++)
   {
        if ((k % x == y) && (k >= max))
        max = k;
   }
   printf("%d", max);
   return 0;
}

它完全正确。但问题是应该在不使用任何循环或 if 的情况下编写程序。 任何人有任何想法？

Answer 1

这个答案假设所有数字都是非负数，x 是非零的，并且 0 ≤ y < x。

如果存在，满足条件的最大数是(n-y)/x*x + y。

证明：

设m是x的最大倍数，不大于n-y。然后 n-y = m+r 对于某些 0 ≤ r < x。 （如果r是负数，m将大于n-y。如果是x或更大，m将不是最大的倍数，因为m+x将是x的倍数不大于n-y。）

然后 (n-y)/x = (m+r)/x = m/x 因为整数除法会丢弃余数。所以(n-y)/x*x=m。

因为m是x的倍数，所以m % x = 0。那么(m+y) % x = y，所以(n-y)/x*x + y = y。

要查看这是不大于 n 的最大此类数字，观察下一个更大的数字与 y 的余数是 (n-y)/x*x + y + x = m + y + x = m + y + r + (x-r) = (n-y) + y + (x-r) = n + (x-r)，我们知道x-r 是正数，所以它大于n。

注意：关于条件 1 ≤ k，如果 n 足够大以允许这样的解决方案，则自动满足此条件，因为公式产生最大的 k ≤ n，其余数模 x 为 y。如果公式得出的k不满足1≤k，则无解。

Answer 2

给定的程序针对给定的 y、x 和 n 值找到满足条件 (k % x == y) 和 (k >= max) 的最大整数 k。这可以通过使用算术级数公式在没有循环的情况下完成。

满足条件（k % x == y）的最大整数k可以写成k = x * q + y，其中q是一个整数。所以，我们需要找到最大的 q 使得 x * q + y <= n。

可以使用公式 q = floor((n - y) / x) 找到最大的 q。在这里，floor 是向下舍入到最接近的整数的函数。

然后，我们可以将 k 计算为 k = x * q + y。如果 k >= max，则 max = k。

这是没有循环的修改后的代码：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main()
{
   int y, x, n, max = 1;
   scanf("%d %d %d", &y, &x, &n);
   
   int q = floor((n - y) / (double)x); // compute largest q
   int k = x * q + y; // compute k
   if (k >= max) max = k; // update max if necessary
   
   printf("%d", max);
   return 0;
}

请注意，我们需要包含 floor 函数的 math.h 头文件。此外，我们需要在除法之前将 x 转换为 double 以确保结果是浮点数。

Answer 3

我正在寻找一个完整的（+ 和 -）x, y 答案，没有 int 溢出，并清楚地确定什么时候没有解决方案是可能的。

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鉴于：

1 <= k <= n
k % x == y

k % x == y暗示
k = quotient * x + y 其中quotient 是某个整数。

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当x == 0， 然后
any_int % 0 未定义，因此在 C 中我们不能确定地形成答案。
1 <= n 在所有情况下也是必需的。

if (x == 0 || n < 1) No_solution;

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当x > 0， 然后
y >= 0（positive_int % x is never < 0) 和
y < x（positive_int % x is always < x）。
使用k % x == y和1 <= k <= n，然后
对于解决方案，n >= y 必须为真。

if (x > 0 && (y < 0 || y >= x || y > n)) No_solution;

上面拒绝后没有解决方案组合：

quotient * x + y <= n       // leads to ...
quotient <= (n-y)/x         // quotient is >= 0 and overflow not possible
largest_k = (n-y)/x * x + y // largest_k >= 0 and overflow not possible
if (largest_k == 0) No_solution;

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当x < 0， 然后
y >= 0（positive_int % x is never < 0) 和
y < -x（positive_int % x is always < -x）。^*1
（当涉及负值时，回想一下a%b是nota mod b。

if (x < 0 && (y < 0 || y > -1 - x || y > n)) No_solution;

其余分析遵循x > 0案例，除了quotient <= 0

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全部一起

if (x == 0 || n < 1 || y < 0 || y > n) return No_solution;
if (x > 0 && y >= x) return No_solution;
if (x < 0 && y > -1 - x) return No_solution;

int quotient = (n-y)/x;
int largest_k = quotient * x + y;
if (largest_k == 0) return No_solution;
printf("Largest k: %d
", largest_k);

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^*1y < -x 可以重写为 y <= -1 - x。此表单处理所有负 xincludingINT_MIN`。