如何使用 1D 梯度在 OpenCV 中计算具有不同向量范数的 2D Sobel？

Question

OpenCV 使用 Sobel operator defined here (details here) 的实现。在这个实现中，先生成水平导数，然后生成垂直导数，然后计算梯度作为导数的 L2 范数。

假设我想改用 L1 范数。为了证明这一点，我拍摄了一张图像，并尝试从 OpenCV 的Sobel() 中获得与手动计算梯度的 L2 范数相同的结果：

import cv2


z_img = cv2.imread(".\\some_image.tif", cv2.IMREAD_UNCHANGED)

z_px_rows = z_img.shape[0]
z_px_cols = z_img.shape[1]

print(f'Center pixel intensity (original): {z_img[z_px_rows // 2, z_px_cols // 2]}')

gx = cv2.Sobel(z_img, cv2.CV_32F, 1, 0, ksize=13)
print(f'Center pixel intensity (gx): {gx[z_px_rows // 2, z_px_cols // 2]}')

gy = cv2.Sobel(z_img, cv2.CV_32F, 0, 1, ksize=13)
print(f'Center pixel intensity (gy): {gy[z_px_rows // 2, z_px_cols // 2]}')

mag, _ = cv2.cartToPolar(gx, gy)
print(f'Center pixel intensity (homebrew sobel): {mag[z_px_rows // 2, z_px_cols // 2]}')

native_sobel = cv2.Sobel(z_img, cv2.CV_32F, 1, 1, ksize=13)
print(f'Center pixel intensity (native sobel): {native_sobel[z_px_rows // 2, z_px_cols // 2]}')

这里我使用的是 32 位浮点图像，其中最小值为 0.0，最大值约为 600.0。其输出是：

Center pixel intensity (original): 537.156982421875
Center pixel intensity (gx): -220087.90625
Center pixel intensity (gy): 350005.25
Center pixel intensity (homebrew sobel): 413451.78125
Center pixel intensity (native sobel): 16357.7548828125

显然，事情有点不对劲。我希望最后两个值相同（不是确切地相同，但绝对接近）。我尝试将图像中的像素标准化到 [0, 1] 范围内，但这没有帮助。我尝试将图像转换为 8 位无符号格式，但也无济于事。我对导致这种差异的实施有什么误解？

Answer 1

您正在将“苹果”与“橘子”进行比较。

在 Python/OpenCV 中，cv2.Sobel() 计算 X 方向导数或 Y 方向导数或混合导数，如下所示：

这与梯度的大小不同：

其中 x(I) = X 来自 Sobel 的方向导数， y(I) = Y Sobel 的方向导数 I = src 和 magnitude = dst

如果你想要 L1 范数，那么代替上面的平方根幅度，使用

magnitude(I) = |x(I)| + |y(I)|

其中 x(I) = X 方向导数和 y(I) = Y 方向导数（来自 Sobel）和 I = src 和 magnitude = dot

Answer 2

我已经接受来自 @fmw42 的 the answer 是正确的，但我想添加更多上下文。

我的问题的直接答案是我发现文档具有误导性。 this link 中的“公式”部分向我暗示，cv2.Sobel() 方法与 x 和 y 内核进行卷积，然后返回这些导数的大小（L2 范数）。

@fmw42 向我指出的错误是 cv2.Sobel()才不是为你计算大小。它仅使用 Sobel 内核进行卷积。您可以通过查看此代码的输出来验证：

import cv2
import numpy as np


z_img = cv2.imread(".\some_image.tif", cv2.IMREAD_UNCHANGED)

z_px_rows = z_img.shape[0]
z_px_cols = z_img.shape[1]

kernel_x = np.array([[-1, 0, 1],
                     [-2, 0, 2],
                     [-1, 0, 1]])

kernel_y = np.array([[-1, -2, -1],
                     [ 0,  0,  0],
                     [ 1,  2,  1]])
  
gx = cv2.filter2D(src=z_img, ddepth=-1, kernel=kernel_x)
print(f'Center pixel intensity (gx): {gx[z_px_rows // 2, z_px_cols // 2]}')

native_sobel_x = cv2.Sobel(z_img, cv2.CV_32F, 1, 0, ksize=3)
print(f'Center pixel intensity (native sobel x): {native_sobel_x[z_px_rows // 2, z_px_cols // 2]}')

gy = cv2.filter2D(src=z_img, ddepth=-1, kernel=kernel_y)
print(f'Center pixel intensity (gy): {gy[z_px_rows // 2, z_px_cols // 2]}')

native_sobel_y = cv2.Sobel(z_img, cv2.CV_32F, 0, 1, ksize=3)
print(f'Center pixel intensity (native sobel y): {native_sobel_y[z_px_rows // 2, z_px_cols // 2]}')

# Now take gx and convolve using the y kernel
mixed = cv2.filter2D(src=gx, ddepth=-1, kernel=kernel_y)
print(f'Center pixel intensity (mixed): {mixed[z_px_rows // 2, z_px_cols // 2]}')

# And compare to calling Sobel(dy=1) on the output of Sobel(dx=1)
native_sobel_mixed = cv2.Sobel(native_sobel_x, cv2.CV_32F, 0, 1, ksize=3)
print(f'Center pixel intensity (native sobel mixed): {native_sobel_mixed[z_px_rows // 2, z_px_cols // 2]}')

native_sobel_both = cv2.Sobel(z_img, cv2.CV_32F, 1, 1, ksize=3)
print(f'Center pixel intensity (native sobel): {native_sobel_both[z_px_rows // 2, z_px_cols // 2]}')

这将产生中心像素的强度，如下所示：

Description	Intensity of center pixel
Manual convolution in x	-0.4061279296875
cv2.Sobel(dx=1, dy=0)	-0.4061279296875
Manual convolution in y	0.41986083984375
cv2.Sobel(dx=0, dy=1)	0.419921875
Manual convolution in x, then y	1.994873046875
cv2.Sobel() in x, then y	1.9949951171875
cv2.Sobel(dx=1, dy=1)	0.2659912109375

对我来说仍然是个谜的是，为什么调用 cv2.Sobel(dx=1, dy=1) 生成的结果与在原始图像上调用 cv2.Sobel(dx=1) 然后在第一次调用的结果（最后三行）上调用 cv2.Sobel(dy=1) 产生不同的结果。不过，这似乎是一个不同的问题。