python如何正确完成拉格朗日插值

Question

我被要求使用拉格朗日插值法绘制一条穿过图形上几个点的线（禁止使用 scipy.interpolate.lagrange）。

但似乎我的代码不能给出正确的结果。说实话，我什至不知道哪一部分是错的。

如果我被要求找到线上特定点的值，我应该如何调整代码来做到这一点？

第一张图片是预期的输出。第二个是我的代码的输出。

有人可以告诉我如何纠正吗？

源代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

m = 4
X = np.array([0, 1, 1.5, 2, 3])
Y = np.array([2, 8, 12, 10, 20])

def p(x): 
    px = 0;
    for j in range(m+1):
        Lmj = 1
        for k in range(m+1):
            if k != j:
                Lmj *= (x - X[k])/(X[j] - X[k])
            px += Y[j] * Lmj;
        return px

plt.scatter(X, Y)
Xinterp = np.linspace(min(X), max(X), 100)
plt.plot(Xinterp, p(Xinterp))
plt.show()

另外， plt.show() 行是否必要？从我讲师的笔记来看，代码没有这一行，但仍然可以显示图形。但是在我复制的源代码版本中，我需要添加这一行来显示图形。

非常感谢您注意到这个问题。

Answer 1

1. 拉格朗日插值从一组给定的点生成多项式。
2. 然后您可以使用此多项式求出直线上特定点的值。
3. 如果您在 Jupyter notebook（或类似笔记本）中运行代码，则 plt.show() 不是必需的，但如果通过终端运行则需要 plt.show() 。

   以下是一些 python 代码，可根据您的点集生成 numpy.polynomial：

   import numpy as np
   from numpy.polynomial import Polynomial
   import matplotlib.pyplot as plt
   
   X = np.array([0, 1, 1.5, 2, 3])
   Y = np.array([2, 8, 12, 10, 20])
   
   n = len(X)
   poly = Polynomial(np.zeros(n))
   
   for j in range(n):
       k = [k for k in range(n) if k != j]
       roots = -1 * X[k]
   
       sub_poly = Polynomial.fromroots(X[k])
       scale = Y[j] / np.prod(X[j] - X[k])
       sub_poly.coef *= scale
   
       poly.coef += sub_poly.coef
   

   然后您可以通过以下方式绘制它：

   plt.scatter(X, Y)
   Xinterp = np.linspace(min(X), max(X), 100)
   plt.plot(Xinterp, poly(Xinterp))
   plt.show()
   

   或查找特定值：

   print(poly(0.5))
   

   更多信息请看这里：https://learn.64bitdragon.com/articles/computer-science/numerical-analysis/lagrange-interpolation

   完全披露：我是这篇文章的作者。