是否可以使用整数算术实现位运算符？答案

【问题标题】：Is it possible to implement bitwise operators using integer arithmetic?是否可以使用整数算术实现位运算符？
【发布时间】：2011-02-28 06:58:46
【问题描述】：

我正面临一个相当特殊的问题。我正在为不支持按位运算的架构开发编译器。但是，它处理带符号的 16 位整数算术，我想知道是否可以仅使用以下方式实现按位运算：

加法 (c = a + b)
减法 (c = a - b)
除法（c = a / b）
乘法 (c = a * b)
模数 (c = a % b)
最小值 (c = min(a, b))
最大值 (c = max(a, b))
比较（c = (a ）
跳跃（goto、for 等）

我希望能够支持的按位运算是：

或 (c = a | b)
和（c = a & b）
异或 (c = a ^ b)
左移 (c = a )
右移 (c = a >> b)
（所有整数都有符号，所以这是个问题）
有符号移位 (c = a >>> b)
补码 (a = ~b)
（已经找到解决方案，见下文）

通常情况正好相反；如何使用按位 hack 实现算术优化。但是在这种情况下不是。

在这种架构上，可写内存非常稀缺，因此需要按位运算。按位函数本身不应使用大量临时变量。但是，常量只读数据和指令内存是丰富的。附带说明一下，跳转和分支并不昂贵，并且所有数据都可以轻松缓存。跳转花费的周期是算术（包括加载/存储）指令的一半。换句话说，以上所有支持的函数都花费了单次跳转周期的两倍。

一些可能有帮助的想法：

我发现您可以使用以下代码进行一个补码（否定位）：

// Bitwise one's complement
b = ~a;
// Arithmetic one's complement
b = -1 - a;

我还记得在除以 2 的幂时的旧移位技巧，因此 按位移位 可以表示为：

// Bitwise left shift
b = a << 4;
// Arithmetic left shift
b = a * 16; // 2^4 = 16

// Signed right shift
b = a >>> 4;
// Arithmetic right shift
b = a / 16;

对于其余的按位运算，我有点不知所措。我希望这种架构的架构师能够提供位操作。

我还想知道是否有一种快速/简单的方法可以在不使用内存数据表的情况下计算 2 的幂（用于移位操作）。一个天真的解决方案是跳入乘法领域：

b = 1;
switch (a)
{
  case 15: b = b * 2;
  case 14: b = b * 2;
  // ... exploting fallthrough (instruction memory is magnitudes larger)
  case 2: b = b * 2;
  case 1: b = b * 2;
}

或 Set & Jump 方法：

switch (a)
{
  case 15: b = 32768; break;
  case 14: b = 16384; break;
  // ... exploiting the fact that a jump is faster than one additional mul
  //     at the cost of doubling the instruction memory footprint.
  case 2: b = 4; break;
  case 1: b = 2; break;
}

【问题讨论】：

只是出于好奇，如今没有布尔运算符，CPU 究竟如何构建？这是十进制机器吗？
这是我最近在 Stack Overflow 上看到的最有趣的问题。
如果运算成本的关系是准确的，这确实是一台非常奇怪的机器——整数除法与乘法相同的速度？我的猜测可能是由离散逻辑构建的，也许就像他们在早期太空探测器中使用的 NASA 定制构建计算机？
为了平息你的好奇心，也许也让你失望，这不是美国宇航局太空探测器的东西。（如果我说是，我必须杀了你）。实际上，这种架构来自一款名为 RoboCom 的游戏。游戏有一个有趣、简单的想法；你为一个机器人编写程序集，然后它试图超越其他机器人。每个机器人的内存非常稀缺（大约 40 字节），我想编写一个高级编译器，该编译器还可以提供稍微昂贵的 bitpacker 来压缩更多信息。可以通过包含 SET 操作数的数据库来模拟常量内存和表。程序员的游戏！
如果有什么好处的话，IBM 1620 不仅没有内置的二进制运算符，它甚至不能添加。加法必须通过查表来完成。另一方面，由于它是一个十进制机器，它可以处理任意精度的十进制数（在商业中很有用）。

标签： bitwise-operators discrete-mathematics compiler-optimization

【解决方案1】：

移位的第一个解决方案（移位是移位距离，不能为负数，a 是要移位的操作数，也包含完成后的结果）。所有三个班次操作都使用幂表。

// table used for shift operations
powtab = { 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, -32768 };

// logical shift left
if (shift > 15) {
     a = 0; // if shifting more than 15 bits to the left, value is always zero
} else {
     a *= powtab[shift];
}

// logical shift right (unsigned)
if (shift > 15) {
    a = 0; // more than 15, becomes zero
} else if (shift > 0) {
    if (a < 0) {
        // deal with the sign bit (15)
        a += -32768;
        a /= powtab[shift];
        a += powtab[15 - shift];
    } else {
        a /= powtab[shift];
    }
}

// arithmetic shift right (signed)
if (shift >= 15) {
    if (a < 0) {
        a = -1;
    } else {
        a = 0;
    }
} else if (shift > 0) {
    if (a < 0) {
        // deal with the sign bit
        a += -32768;
        a /= powtab[shift];
        a -= powtab[15 - shift];
    } else {
        // same as unsigned shift
        a /= powtab[shift];
    }
}

对于 AND、OR 和 XOR，我想不出一个简单的解决方案，所以我将通过循环遍历每个位来实现。可能有更好的技巧来做到这一点。伪代码假设 a 和 b 是输入操作数，c 是结果值，x 是循环计数器（每个循环必须精确运行 16 次）：

// XOR (^)
c = 0;
for (x = 0; x <= 15; ++x) {
    c += c;
    if (a < 0) {
        if (b >= 0) {
            c += 1;
        }
    } else if (b < 0) {
        c += 1;
    }
    a += a;
    b += b;
}

// AND (&)
c = 0;
for (x = 0; x <= 15; ++x) {
    c += c;
    if (a < 0) {
        if (b < 0) {
            c += 1;
        }
    }
    a += a;
    b += b;
}

// OR (|)
c = 0;
for (x = 0; x <= 15; ++x) {
    c += c;
    if (a < 0) {
        c += 1;
    } else if (b < 0) {
        c += 1;
    }
    a += a;
    b += b;
}

这是假设所有变量都是 16 位并且所有操作的行为都是有符号的（所以当设置 15 位时 a

编辑：我实际上测试了所有可能的操作数值（-32768 到 32767）的移位范围从 0 到 31 的正确性，并且它工作正常（假设整数除法）。对于 AND/OR/XOR 代码，在我的机器上进行详尽的测试花费的时间太长，但由于这些代码非常简单，所以无论如何都不应该出现边缘情况。

【讨论】：

【解决方案2】：

在这种环境下，最好设置为实际使用算术运算符来剥离整数的组成部分。

例如

if (a & 16)  becomes if ((a % 32) > 15)
a &= 16 becomes if ((a % 32) < 15) a += 16

如果您将 RHS 限制为 2 的恒定幂，这些运算符的转换就足够明显了。

剥掉两个或四个位也很容易。

【讨论】：

【解决方案3】：

一个老问题的不完整答案，这里主要关注 AND、OR、XOR。一旦找到这些按位运算之一的解决方案，就可以推导出其他两个。有几种方法，一种在下面的测试程序中展示（在gcc版本4.6.3（Ubuntu/Linaro 4.6.3-1ubuntu5）上编译）。

2018 年 12 月，我在解决方案中发现了一个错误。下面注释的 XOR 仅起作用，因为 a+b-2*AND(a,b) 中的中间结果被提升为 int，对于所有现代编译器来说都大于 16 位。

#include <stdint.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

//#define XOR(a,b) (a + b - 2*AND(a,b)) // Error. Intermediate overflow
#define XOR(a,b) (a - AND(a,b) +  b - AND(a,b) )
#define IOR(a,b) XOR(XOR(a,b),AND(a,b)) // Credit to Jan Gray, Gray Research LLC, for IOR
static const uint16_t andlookup[256] = {
#define C4(a,b) ((a)&(b)), ((a)&(b+1)), ((a)&(b+2)), ((a)&(b+3))
#define L(a) C4(a,0), C4(a,4), C4(a,8), C4(a,12)
#define L4(a) L(a), L(a+1), L(a+2), L(a+3)
    L4(0), L4(4), L4(8), L4(12)
#undef C4
#undef L
#undef L4
};

uint16_t AND(uint16_t a, uint16_t b) {
    uint16_t r=0, i;

    for ( i = 0; i < 16; i += 4 ) {
            r = r/16 + andlookup[(a%16)*16+(b%16)]*4096;
            a /= 16;
            b /= 16;
    }
    return r;
}

int main( void ) {
    uint16_t a = 0, b = 0;

    do {
            do {
                    if ( AND(a,b) != (a&b) ) return printf( "AND error\n" );
                    if ( IOR(a,b) != (a|b) ) return printf( "IOR error\n" );
                    if ( XOR(a,b) != (a^b) ) return printf( "XOR error\n" );
            } while ( ++b != 0 );
            if ( (a & 0xff) == 0 )
                    fprintf( stderr, "." );
    } while ( ++a != 0 );
    return 0;
}

【讨论】：

你知道这个查找表是怎么计算出来的吗？
@Alexandre，有几种可能性。本来我是用一个小辅助程序，现在改答案改用宏了。
Durandal 同胞的回应，他实现了轮班操作符，你知道实现这些操作符的另一种方法吗？

【解决方案4】：

您可以逐位操作（如 Mark Byers 建议的那样），通过提取每一个会很慢的位。

或者您可以加速处理并使用 2d 查找表来存储结果，例如，对于两个 4 位操作数并对其进行操作。与在位上操作相比，您需要更少的提取。

您还可以使用加法、减法和 >= 操作来完成所有操作。每个位操作都可以使用宏展开成这样的：

/*I didn't actually compile/test it, it is just illustration for the idea*/
uint16 and(uint16 a, uint16 b){
    uint16 result = 0;
    #define AND_MACRO(c) \
        if (a >= c){ \ 
            if (b >= c){\
                result += c;\
                b -= c;\
            }\
            a -= c;\
        }\
        else if (b >= c)\
            b -= c;

    AND_MACRO(0x8000)
    AND_MACRO(0x4000)
    AND_MACRO(0x2000)
    AND_MACRO(0x1000)
    AND_MACRO(0x0800)
    AND_MACRO(0x0400)
    AND_MACRO(0x0200)
    AND_MACRO(0x0100)
    AND_MACRO(0x0080)
    AND_MACRO(0x0040)
    AND_MACRO(0x0020)
    AND_MACRO(0x0010)
    AND_MACRO(0x0008)
    AND_MACRO(0x0004)
    AND_MACRO(0x0002)
    AND_MACRO(0x0001)
    #undef AND_MACRO
    return result;
}

你需要 3 个变量来实现它。

每个位运算都将围绕类似于AND_MACRO 的宏进行 - 您将 a 和 b 的剩余值与“掩码”（即“c”参数）进行比较。然后将掩码添加到适合您操作的 if 分支中的结果。如果设置了位，则从值中减去掩码。

根据您的平台，它可能比使用 % 和 / 提取每个位，然后使用乘法将其放回更快。

你自己看看哪个更适合你。

【讨论】：

【解决方案5】：

只要你愿意它非常昂贵，就可以。

基本上，您将明确地将数字放入以 2 为底的表示形式中。就像将数字放入以 10 为底的数字一样（例如，打印出来），也就是通过重复除法。

这会将您的数字转换为布尔数组（或 0,1 范围内的整数），然后我们添加函数来对这些数组进行操作。

再次强调，这并不是说这比按位运算要昂贵得多，而且几乎任何架构都将提供按位运算符。

在 C 中（当然，在 C 中你有位运算符，但是......）一个实现可能是：

include <limits.h>
const int BITWIDTH = CHAR_BIT;
typedef int[BITWIDTH] bitpattern;

// fill bitpattern with base-2 representation of n
// we used an lsb-first (little-endian) representation
void base2(char n, bitpattern array) {
  for( int i = 0 ; i < BITWIDTH ; ++i ) {
    array[i] = n % 2 ;
    n /= 2 ;
  }
}

void bitand( bitpattern op1, bitpattern op2, bitpattern result ) {
  for( int i = 0 ; i < BITWIDTH ; ++i ) {
    result[i] = op1[i] * op2[i];
  }
}


void bitor( bitpattern op1, bitpattern op2, bitpattern result ) {
  for( int i = 0 ; i < BITWIDTH ; ++i ) {
    result[i] = (op1[i] + op2[i] != 0 );
  }
}

// assumes compiler-supplied bool to int conversion 
void bitxor( bitpattern op1, bitpattern op2, bitpattern result ) {
  for( int i = 0 ; i < BITWIDTH ; ++i ) {
    result[i] = op1[i] != op2[i]  ;
  }
}

【讨论】：

【解决方案6】：

只是其他一些方法

例如 16 位 AND：

int and(int a, int b) {
    int d=0x8000;
    int result=0;
    while (d>0)  {
        if (a>=d && b>=d) result+=d;
        if (a>=d) a-=d;
        if (b>=d) b-=d;
        d/=2;
    }
    return result;
}

double 解决方案 2-bit AND 没有循环或表查找：

int and(int a, int b) {
    double x=a*b/12;
    return (int) (4*(sign(ceil(tan(50*x)))/6+x));
}

32位整数解2位与：

int and(int a, int b) {
    return ((684720128*a*a -b) * a) % (b+1);
}

16位整数解2位与：

int and(int a, int b) {
    return ((121 * a) % 16) % (b+1);
}

16位整数解3位与：

int and(int a, int b) {
    return sign(a) * ((((-23-a) * (40+b)) % 2)+40+b) % ((10624 * ((((-23-a) * (40+b))%2)+40+b)) % (a%2 - 2 -a) - a%2 + 2 +a);
}

【讨论】：

【解决方案7】：

这是我想出的一种方法，使用双 64 整数加法并行处理按位 XOR 16 位：

[gmn]awk '{ CONVFMT = OFMT = "%.20g" 

     c = (a=3e15+("1011000111110101"))+
         (b=3e15+("1101010010101110"))             
           
         sub(/[7]/,   "1",c)
        gsub(/[268]/ ,"0",c)
         sub(/^[^01]+/,"",c); print c }'

位串看起来像这样（为了清楚起见，我在这里去掉了3e15 保护数字）：

 a =    1011 0001 1111 0101
 b =    1101 0100 1010 1110
 c =    8112 0101 2121 1211 (intermediate)
-------------------------------------------
 c =    0110 0101 0101 1011 (output)

一个 52 位无符号整数加法，几乎没有几个字符串替换调用，输出已经处于可以向下传递的状态。

此添加将攀升至的绝对最高值是 8222,2222,222,222，略低于 53 位硬限制。

对于按位与，将前导 6 或 7 的所有 1 转换为 0：只有 2 和前导 8 是真正的位，然后应将其转换为 1。

对于按位 OR，情况正好相反 - 任何不是 0 或 6 的东西在输出字符串中都是“1”。

对于逐位补码，更简单——从 1,111,111,111,111,111 开始，减去 2 个字节的串联位串即可得到。

【讨论】：