浮点算术运算的精度是多少？

Question

考虑下面两个非常简单的乘法：

double result1;
long double result2;
float var1=3.1;
float var2=6.789;
double var3=87.45;
double var4=234.987;

result1=var1*var2;
result2=var3*var4;

默认情况下，乘法是否以比操作数更高的精度进行？我的意思是，在第一次乘法的情况下，它是以双精度完成的，而在 x86 架构中的第二次乘法的情况下，它是以 80 位扩展精度完成的，还是我们应该自己将表达式中的操作数转换为更高的精度，如下所示？

result1=(double)var1*(double)var2;
result2=(long double)var3*(long double)var4;

其他操作（加法、除法和余数）呢？例如，当添加两个以上的正单精度值时，如果用于保存表达式的中间结果，则使用双精度的额外有效位可以减少舍入误差。

Answer 1

浮点计算的精度

C++11 incorporates FLT_EVAL_METHOD 的定义来自 C99 中的 cfloat。

FLT_EVAL_METHOD 可能的值： -1 未定 0 只评估类型的范围和精度 1 将 float 和 double 评估为 double，long double 评估为 long double。 2 评估所有为 long double

如果您的编译器将FLT_EVAL_METHOD 定义为2，则r1 和r2 以及s1 和s2 的计算分别是等效的：

double var3 = …;
double var4 = …;

double r1 = var3 * var4;
double r2 = (long double)var3 * (long double)var4;

long double s1 = var3 * var4;
long double s2 = (long double)var3 * (long double)var4;

如果您的编译器将 FLT_EVAL_METHOD 定义为 2，那么在上述所有四个计算中，乘法运算都以 long double 类型的精度完成。

但是，如果编译器将 FLT_EVAL_METHOD 定义为 0 或 1，则 r1 和 r2 以及 s1 和 s2 并不总是相同的。计算r1 和s1 时的乘法以double 的精度完成。计算r2 和s2 时的乘法运算以long double 的精度完成。

从狭窄的论点获得广泛的结果

如果您要计算的结果注定要存储在比操作数类型更广泛的结果类型中，就像您的问题中的 result1 和 result2 一样，您应该始终将参数转换为至少一个类型与目标一样宽，就像您在此处所做的那样：

result2=(long double)var3*(long double)var4;

如果没有这种转换（如果你写var3 * var4），如果编译器对FLT_EVAL_METHOD的定义是0或1，那么乘积将按照double的精度计算，这是一个耻辱，因为它注定存储在long double中。

如果编译器将 FLT_EVAL_METHOD 定义为 2，则 (long double)var3*(long double)var4 中的转换不是必需的，但它们也不会造成伤害：表达式的含义完全相同。

题外话：如果目标格式与参数一样窄，那么中间结果的扩展精度何时更好？

矛盾的是，对于单个操作，最好只舍入一次到目标精度。以扩展精度计算单次乘法的唯一效果是将结果舍入到扩展精度，然后舍入到double 精度。这使它成为less accurate。换言之，FLT_EVAL_METHOD 0 或 1 时，由于双舍入，上述结果 r2 有时不如 r1 准确，而且如果编译器使用 IEEE 754 浮点，则永远不会更好。

对于包含多个操作的较大表达式，情况有所不同。对于这些，通常最好以扩展精度计算中间结果，要么通过显式转换，要么因为编译器使用FLT_EVAL_METHOD == 2。这个question 及其接受的答案表明，当使用 80 位扩展精度中间计算对 binary64 IEEE 754 参数和结果进行计算时，插值公式 u2 * (1.0 - u1) + u1 * u3 总是产生u2 和u3 之间的结果u1介于 0 和 1 之间。此属性可能不适用于 binary64 精度的中间计算，因为此时舍入误差较大。

Answer 2

浮点类型的常用算术转换在乘法、除法和取模之前应用：

对操作数执行通常的算术转换并确定结果的类型。

§5.6 [expr.mul]

加减法类似：

对算术或枚举类型的操作数执行通常的算术转换。

§5.7 [expr.add]

浮点类型的常用算术转换在标准中如下所示：

许多期望算术或枚举类型的操作数的二元运算符会导致转换并以类似的方式产生结果类型。目的是产生一个通用类型，这也是结果的类型。这种模式称为通常的算术转换，定义如下：

[...]

——如果任一操作数的类型为long double，则另一个应转换为long double。

——否则，如果任一操作数为double，则另一个应转换为double。

——否则，如果任一操作数为float，则另一个应转换为float。

§5 [表达式]

这些浮点类型的实际形式/精度是​​实现定义的：

double 类型提供的精度至少与 float 一样高，long double 类型提供的精度至少与 double 一样高。 float 类型的值集是double 类型的值集的子集； double 类型的值集是long double 类型的值集的子集。浮点类型的值表示是实现定义的。

§3.9.1 [basic.fundamental]

Answer 3

1. 对于浮点乘法：FP 乘法器在内部使用操作数宽度的两倍来生成中间结果，该结果等于无限精度内的实际结果，然后将其四舍五入到目标精度。因此，您不必担心乘法。结果已正确四舍五入。
2. 对于浮点加法，结果也被正确舍入，因为标准 FP 加法器使用额外足够的 3 个保护位来计算正确舍入的结果。
3. 对于除法，余数和其他复杂的函数，如sin，log，exp等超越函数......它主要取决于架构和使用的库。如果您为除法或任何其他复杂函数寻求正确的舍入结果，我建议您使用 MPFR 库。

Answer 4

不是对您的问题的直接回答，但对于常量浮点值（例如您的问题中指定的值），产生最少精度损失的方法将使用每个值的有理表示整数分子除以整数分母，并在实际浮点除法之前执行尽可能多的整数乘法。

对于您问题中指定的浮点值：

int var1_num = 31;
int var1_den = 10;
int var2_num = 6789;
int var2_den = 1000;
int var3_num = 8745;
int var3_den = 100;
int var4_num = 234987;
int var4_den = 1000;
double result1 = (double)(var1_num*var2_num)/(var1_den*var2_den);
long double result2 = (long double)(var3_num*var4_num)/(var3_den*var4_den);

如果任何整数产品太大而无法放入int，那么您可以使用更大的整数类型：

unsigned int
signed   long
unsigned long
signed   long long
unsigned long long