多边形相交的简单算法

Question

我正在寻找一种非常简单的算法来计算多边形交集/裁剪。 也就是说，给定多边形P、Q，我希望找到包含在P 和Q 中的多边形T，并且我希望T 在所有可能的多边形中是最大的。

我不介意运行时间（我有一些非常小的多边形），我也可以得到多边形交点的近似值（即，一个点数较少的多边形，但仍包含在多边形的交点）。

但对我来说，算法简单（更便宜的测试）并且最好是简短（更少的代码）对我来说非常重要。

编辑：请注意，我希望获得一个代表交叉点的多边形。对于两个多边形是否相交的问题，我只需要一个布尔答案。

Answer 1

我知道原发帖人正在寻找一个简单的解决方案，但不幸的是，真的没有简单的解决方案。

尽管如此，我最近创建了一个开源免费软件剪辑库（用 Delphi、C++ 和 C# 编写），它可以剪辑各种多边形（包括自相交的多边形）。这个库使用起来非常简单：http://sourceforge.net/projects/polyclipping/。

Answer 2

您可以使用 多边形裁剪 算法来查找两个多边形之间的交点。然而，当考虑到所有边缘情况时，这些算法往往是复杂的。

Weiler-Atherton 是您可以使用自己喜欢的搜索引擎查找的一种多边形裁剪实现。 wikipedia article on Weiler-Atherton

Alan Murta 有一个完整的多边形剪裁器 GPC。

编辑：

另一种方法是先将每个多边形分成一组三角形，这样比较容易处理。 Gary H. Meisters 的双耳定理可以解决问题。这个page at McGill很好地解释了三角形的细分。

Answer 3

如果你使用 C++，并且不想自己创建算法，你可以使用Boost.Geometry。它使用上述 Weiler-Atherton 算法的改编版本。

Answer 4

你没有给我们你的多边形表示。所以我正在为你选择（更像是建议）一个:)

将每个多边形表示为一个大凸多边形，以及需要从该大凸多边形中“减去”的较小凸多边形列表。

现在给定该表示中的两个多边形，您可以将交集计算为：

计算大凸多边形的交集以形成交集的大多边形。然后“减去”两者中所有较小的交点的交点，得到一个被分割的多边形列表。

您会得到一个遵循相同表示的新多边形。

既然凸多边形相交很容易，那么这个相交的查找也应该很容易。

这似乎应该可行，但我还没有对正确性/时间/空间复杂度进行更深入的思考。

Answer 5

这是一种简单而愚蠢的方法：在输入时，将多边形离散化为位图。相交，将位图和在一起。要生成输出多边形，请绘制位图的锯齿边界并使用polygon-approximation algorithm 平滑锯齿。 （我不记得那个链接是否给出了最合适的算法，它只是谷歌的第一个命中。您可以查看其中一个将位图图像转换为矢量表示的工具。也许您可以在不重新实现算法的情况下调用它们?)

我认为最复杂的部分是tracing out the borders。

顺便说一句，早在 90 年代初，我就在工作中遇到过类似的问题。我闷闷不乐：我想出了一个（完全不同的）算法，它可以在实数坐标上工作，但面对浮点（和嘈杂的输入）的现实，似乎遇到了完全无法修复的大量退化情况.也许在互联网的帮助下我会做得更好！

Answer 6

我没有非常简单的解决方案，但这里是 real 算法的主要步骤：

1. 为多边形顶点做一个自定义双链表 边缘。使用 std::list 是不行的，因为你必须交换 next 和 以前的指针/偏移量自己进行特殊操作 节点。这是拥有简单代码的唯一方法，这将给出 表现不错。
2. 通过比较每对边找到交点。笔记 比较每对边缘将给出 O(N²) 时间，但改进 之后 O(N·logN) 的算法将很容易。对于一些 边（比如 a→b 和 c→d），通过使用找到交点 边 a→b 上的参数（从 0 到 1），由下式给出 tₐ=d₀/(d₀-d₁)，其中d₀是(c-a)×(b-a)，d₁是(d-a)×(b-a)。 × 是 二维叉积，例如 p×q=pₓ·qᵧ-pᵧ·qₓ。在找到 tₐ 之后， 找到交点将其用作线性插值 段 a→b 上的参数：P=a+tₐ(b-a)
3. 分割每条边添加顶点（和链表中的节点） 线段相交的地方。
4. 那么你必须交叉交点处的节点。这是 您需要执行自定义双链接的操作 列表。您必须交换一对 next 指针（并更新 previous 相应的指针）。

然后你就有了多边形相交解析算法的原始结果。通常，您会希望根据每个区域的缠绕数选择一些区域。搜索 多边形缠绕数 以获取相关说明。

如果你想从这个 O(N²) 算法中创建一个 O(N·logN) 算法，你必须做完全相同的事情，除了你在行扫描算法内部做。查找 Bentley Ottman 算法。内部算法将是相同的，唯一的区别是在循环内部，要比较的边数会减少。

Answer 7

我解决同样问题的方式

1. 将多边形分成线段
2. 使用IntervalTrees或LineSweepAlgo查找相交线
3. 使用GrahamScanAlgo查找闭合路径以查找具有相邻顶点的闭合路径
4. 交叉引用 3. 使用 DinicAlgo 解决它们

注意：我的场景不同，因为多边形有一个共同的顶点。但希望这能有所帮助

Answer 8

如果您不关心可预测的运行时间，您可以尝试先将多边形拆分为凸多边形的并集，然后成对计算子多边形之间的交集。

这会给你一个凸多边形的集合，这样它们的并集就是你的起始多边形的交集。

Answer 9

如果多边形未对齐，则它们必须对齐。我会通过找到多边形的中心（X 中的平均值，Y 中的平均值）然后通过矩阵变换增量旋转多边形，将点投影到轴之一并使用最小 stdev 的角度来对齐形状（你也可以使用主成分）。为了找到交点，一个简单的算法将定义一个点网格。对于每个点，维护一个多边形或另一个多边形或两者（联合）内的点数（有简单快速的算法，例如http://wiki.unity3d.com/index.php?title=PolyContainsPoint）。计算多边形 1 和多边形 2 的点数，除以多边形 1 或多边形 2 中的点数，就可以粗略估计多边形重叠的比例（取决于网格采样）。相交区域将由对应于 AND 操作的点给出。

例如。

function get_polygon_intersection($arr, $user_array)
{
    $maxx = -999;  // choose sensible limits for your application
    $maxy = -999;
    $minx = 999;
    $miny = 999;
    $intersection_count = 0;
    $not_intersected = 0;
    $sampling = 20;
    
    // find min, max values of polygon (min/max variables passed as reference)
    get_array_extent($arr, $maxx, $maxy, $minx, $miny);
    get_array_extent($user_array, $maxx, $maxy, $minx, $miny);
    
    $inc_x = $maxx-$minx/$sampling;
    $inc_y = $maxy-$miny/$sampling;
    
    // see if x,y is within poly1 and poly2 and count
    for($i=$minx; $i<=$maxx; $i+= $inc_x)
    {
        for($j=$miny; $j<=$maxy; $j+= $inc_y)
        {
            $in_arr = pt_in_poly_array($arr, $i, $j);
            $in_user_arr = pt_in_poly_array($user_array, $i, $j);
            
            if($in_arr && $in_user_arr)
            {
                $intersection_count++;
            }
            else
            {
                $not_intersected++;
            }
        }
    }
    
    // return score as percentage intersection
    return 100.0 * $intersection_count/($not_intersected+$intersection_count);
}

Answer 10

这可能是一个巨大的近似值，具体取决于您的多边形，但这里有一个：

• 计算每个的质心 多边形。
• 计算最小值或最大值或平均值 到每个点的距离 多边形到质心。
• 如果 C1C2（其中 C1/2 是第一个/第二个多边形的中心）>= D1 + D2（其中 D1/2 是您为第一个/第二个多边形计算的距离），则两个多边形“相交”。

不过，这应该非常有效，因为对多边形的任何变换都以相同的方式应用于质心，并且中心节点距离只能计算一次。