填充张量的有效逻辑

Answer 1

如果您希望总内存是512 的倍数，那么张量中的元素数必须是512 // DATA_TYPE_MULTIPLIER 的倍数，例如128 在你的情况下。不管那个数字是什么，它都会有一个2**n 形式的素数分解。张量中的元素数量由s[0]*s[1]*...*s[d-1] 给出，其中s 是包含张量形状的序列，d 是一个整数，即维数。乘积s[0]*s[1]*...*s[d-1] 也有一些素因数分解，当且仅当它包含这些素因数时，它是2**n 的倍数。 IE。任务是填充各个维度s[i]，使得乘积s[0]*s[1]*...*s[d-1] 的素因数分解包含2**n。

如果目标是达到填充张量的最小可能大小，那么可以简单地遍历给定目标元素数量的所有倍数，以找到可以通过填充（增加）张量的各个维度来满足的第一个⁽¹⁾.只要维度至少包含一个未包含在目标倍数大小中的素数，就必须增加维度。在所有维度都增加后，它们的主要因素包含在目标倍数大小中，可以检查候选形状的结果大小：如果它与目标倍数大小匹配，我们就完成了；如果它的素因子是目标多个素因子的严格子集，我们可以将缺失的素因子添加到任何维度（例如第一个）；否则，我们可以使用多余的素因子来存储未来（更大）乘数的候选形状。然后，第一个这样的未来乘数标记所有可能乘数的迭代的上限，即算法将终止。但是，如果候选形状（在调整所有尺寸之后）具有过多的素因子 w.r.t.目标倍数大小以及错过一些其他主要因素，唯一的方法是迭代所有可能的填充形状，其大小受目标倍数大小的限制。

下面是一个示例实现：

from collections import Counter
import itertools as it
import math
from typing import Iterator, Sequence


def pad(shape: Sequence[int], target: int) -> tuple[int,...]:
    """Pad the given `shape` such that the total number of elements
       is a multiple of the given `target`.
    """
    size = math.prod(shape)
    if size % target == 0:
        return tuple(shape)

    target_prime_factors = get_prime_factors(target)

    solutions: dict[int, tuple[int,...]] = {}  # maps `target` multipliers to corresponding padded shapes

    for multiplier in it.count(math.ceil(size / target)):

        if multiplier in solutions:
            return solutions[multiplier]

        prime_factors = [*get_prime_factors(multiplier), *target_prime_factors]
        
        def good(x):
            return all(f in prime_factors for f in get_prime_factors(x))

        candidate = list(shape)
        for i, x in enumerate(candidate):
            while not good(x):
                x += 1
            candidate[i] = x

        if math.prod(candidate) == multiplier*target:
            return tuple(candidate)

        candidate_prime_factor_counts = Counter(f for x in candidate for f in get_prime_factors(x))
        target_prime_factor_counts = Counter(prime_factors)

        missing = target_prime_factor_counts - candidate_prime_factor_counts
        excess = candidate_prime_factor_counts - target_prime_factor_counts

        if not excess:
            return (
                candidate[0] * math.prod(k**v for k, v in missing.items()),
                *candidate[1:],
            )
        elif not missing:
            solutions[multiplier * math.prod(k**v for k, v in excess.items())] = tuple(candidate)
        else:
            for padded_shape in generate_all_padded_shapes(shape, bound=multiplier*target):
                padded_size = math.prod(padded_shape)
                if padded_size == multiplier*target:
                    return padded_shape
                elif padded_size % target == 0:
                    solutions[padded_size // target] = padded_shape


def generate_all_padded_shapes(shape: Sequence[int], *, bound: int) -> Iterator[tuple[int,...]]:
    head, *tail = shape
    if bound % head == 0:
        max_value = bound // math.prod(tail)
    else:
        max_value = math.floor(bound / math.prod(tail))
    for x in range(head, max_value+1):
        if tail:
            yield from ((x, *other) for other in generate_all_padded_shapes(tail, bound=math.floor(bound/x)))
        else:
            yield (x,)


def get_prime_factors(n: int) -> list[int]:
    """From: https://stackoverflow.com/a/16996439/3767239
       Replace with your favorite prime factorization method.
    """
    primfac = []
    d = 2
    while d*d <= n:
        while (n % d) == 0:
            primfac.append(d)  # supposing you want multiple factors repeated
            n //= d
        d += 1
    if n > 1:
       primfac.append(n)
    return primfac

这里有一些例子：

pad((16, 1, 1), 128) = (128, 1, 1)
pad((16, 51, 1, 4), 128) = (16, 52, 1, 4)
pad((80, 240, 1, 1), 128) = (80, 240, 1, 1)
pad((3, 5, 7, 11), 128) = (3, 5, 8, 16)
pad((3, 3, 3, 1), 128) = (8, 4, 4, 1)
pad((7, 7, 7, 7), 128) = (7, 8, 8, 8)
pad((9, 9, 9, 9), 128) = (10, 10, 10, 16)

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_{脚注：(1) 实际上，我们需要在整数域上找到x[i] >= 0 的多项式(s[0]+x[0])*(s[1]+x[1])*...*(s[d-1]+x[d-1]) - multiple*target 的根。但是，我不知道有什么算法可以解决这个问题。}