为什么方法“div”比“div 2”快？答案

【问题标题】：Why method "div" is faster thant "div2"?为什么方法“div”比“div 2”快？
【发布时间】：2022-07-06 05:53:14
【问题描述】：

我试图破译为什么div 方法比div2 方法快，但我找不到原因。

def div2(num)
  [*1..num].select do |n|
    n if num % n == 0
  end
end

 p div2(58463982)

def div(num)
 result = []
 (1..num).each do |n|
   break if result.include?(num / n)
   result.concat([n, num / n]).uniq! if num % n == 0
 end
 result.sort!
end

p div(58463982)

【问题讨论】：

手动尝试这两种方法以获得更小的数字，例如 15。div2 将循环 15 次，div 将循环直到 5，看到它已经找到 5（当它除以 3 时）并中断.
最好循环到 num 的 integer square root。

标签： ruby time-complexity

【解决方案1】：

div2 方法创建一个从1 到num 的列表，然后迭代其中的所有元素。

div 方法可以提前中断，因此不必重复多次。

【讨论】：

【解决方案2】：

我会让其他人解释为什么div 比div2 快。我想展示如何以更有效的方式计算给定自然数的因子。

每个整数都可以表示为素数集合的乘积，每个素数的幂都是一个以上。我们可以使用方法Prime::prime_division 来获得那些素数和幂。例如，

require 'prime'

arr = Prime.prime_division(58463982)
  #=> [[2, 1], [3, 2], [53, 1], [61283, 1]]

这意味着：

(2**1) * (3**2) * (53**1) * (61283**1)
  #=> 58463982

58463982 的主要除数之一等于，例如：

(2**1) * (3**2) * (53**0) * (61283**1)
  #=> 2 * 9 * 1 * 61283
  #=> 1103094

确认：

58463982 % 1103094
  #=> 0

另一个是

(2**0) * (3**1) * (53**1) * (61283**0)
  #=> 1 * 3 * 53 * 1
  #=> 159

我们发现给定数字的所有因子都可以使用Array#product 和Enumerable#reduce（又名inject）方法如下计算（组合）：

def all_factors(n)
  primes, exponents = Prime.prime_division(n).transpose
  first_exp_range, *rest_exp_range = exponents.map { |e| [*0..e] }
  first_exp_range.product(*rest_exp_range).map do |exps| 
    primes.zip(exps).reduce(1) { |t,(p,e)| t*(p**e) }
  end.sort
end

根据要求，可能不需要末尾的.sort。

我们可能会测试：

all_factors(58463982)
  #=> [1, 2, 3, 6, 9, 18, 53, 106, 159, 318, 477, 954, 61283, 122566,
  #    183849, 367698, 551547, 1103094, 3247999, 6495998, 9743997,
  #    19487994, 29231991, 58463982]

这显然比div 和div2 快得多，部分原因是Prime::prime_division 是用优化的C 代码编写的。

我们可以通过示例来查看正在执行的计算。

n = 58463982

然后

primes, exponents = Prime.prime_division(n).transpose
  #=> [[2, 3, 53, 61283], [1, 2, 1, 1]]

所以

primes
  #=> [2, 3, 53, 61283]
exponents
  #=> [1, 2, 1, 1]

那么，

first_exp_range, *rest_exp_range = exponents.map { |e| [*0..e] }
  #=> [[0, 1], [0, 1, 2], [0, 1], [0, 1]]

所以

first_exp_range
  #=> [0, 1]
rest_exp_range
  #=> [0, 1, 2], [0, 1], [0, 1]

然后

a = first_exp_range.product(*res_exp_range)
  #=> [[0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 1],
  #    [0, 1, 0, 0], [0, 1, 0, 1], [0, 1, 1, 0], [0, 1, 1, 1],
  #    [0, 2, 0, 0], [0, 2, 0, 1], [0, 2, 1, 0], [0, 2, 1, 1],
  #    [1, 0, 0, 0], [1, 0, 0, 1], [1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 1],
  #    [1, 1, 0, 0], [1, 1, 0, 1], [1, 1, 1, 0], [1, 1, 1, 1],
  #    [1, 2, 0, 0], [1, 2, 0, 1], [1, 2, 1, 0], [1, 2, 1, 1]]

那么，

 b = a.map { |exps| primes.zip(exps).reduce(1) { |t,(p,e)| t*(p**e) } }
   #=> [1, 61283, 53, 3247999, 3, 183849, 159, 9743997, 9, 551547,
   #    477, 29231991, 2, 122566, 106, 6495998, 6, 367698, 318,
   #    19487994, 18, 1103094, 954, 58463982]

查看排序后的结果，

b.sort
  #=> [1, 2, 3, 6, 9, 18, 53, 106, 159, 318, 477, 954, 61283, 122566,
  #    183849, 367698, 551547, 1103094, 3247999, 6495998, 9743997,
  #    19487994, 29231991, 58463982]

【讨论】：