以未知角度旋转二维向量，使其方向向量为 [1,0]

Question

我正在尝试围绕原点旋转矢量[x,y]，这样当旋转完成时，它位于 X 轴上。为此，我首先计算[x,y] 和[1,0] 之间的角度，然后对其应用简单的二维rotation matrix。我正在使用numericjs 来处理向量。

math.angleBetween = function(A, B) {                                                                                               
    var x = numeric.dot(A, B) / (numeric.norm2(A) * numeric.norm2(B));                                                             
    if(Math.abs(x) <= 1) {                                                                                                         
        return Math.acos(x);                                                                                                       
    } else {                                                                                                                       
        throw "Bad input to angleBetween";                                                                                         
    }                                                                                                                              
};

math.alignToX = function(V) {
    var theta = -math.angleBetween([1,0], V);
    var R = [[Math.cos(theta), -Math.sin(theta)],
             [Math.sin(theta), Math.cos(theta)]];
    return numeric.dot(R, V);
};

（注意：math 是我项目中的命名空间对象。Math 是您的旧数学对象。）

此代码有时有效，但是在某些情况下，无论我运行math.alignToX 多少次，向量都无法接近与 X 轴对齐。我正在通过检查y 坐标是否小于1e-10 来对此进行测试。

我也尝试过使用Math.atan2，隐式z 坐标为0，但结果是一样的。不会抛出错误。一些示例结果：

math.alignToX([152.44444444444434, -55.1111111111111]) 
// result: [124.62691466033475, -103.65652585400568]
// expected: [?, 0]

math.alignToX([372, 40])
// result: [374.14435716712336, -2.0605739337042905e-13]
// expected: [?, 0]
// this value has abs(y coordinate) < 1e-10, so its considered aligned

我做错了什么？

Answer 1

如果您要旋转矢量以外的其他内容，则需要使用 R 矩阵。但是如果你只需要旋转你的向量，结果将是[Math.sqrt(x*x+y*y),0]。

Answer 2

实际上，构建将已知二维向量与 [1, 0] 对齐的旋转矩阵的任务根本不需要任何三角函数。

事实上，如果 [x y] 是你的向量，s 是它的长度（s = Sqrt(x*x + y*y)），那么映射 [x y] 到与 [1 0] 对齐的变换（纯旋转，没有缩放）只是：

          [ x y]
T = 1/s^2 [-y x]

例如，假设您的向量是 [Sqrt(3)/2, 1/2]。这是一个单位向量，因为您可以轻松检查所以 s = 1。

    [Sqrt(3)/2     1/2   ]
T = [  -1/2     Sqrt(3)/2]

将 T 乘以我们的向量，我们得到：

    [Sqrt(3)/2     1/2   ][Sqrt(3)/2]   [1]
T = [  -1/2     Sqrt(3)/2][  1/2    ] = [0]

因此，在找到旋转角度（在本例中为 Pi/6）然后创建旋转矩阵时，您就完全回到了开始的位置。 [Sqrt(3)/2, 1/2] 的旋转角度为 Pi/2，cos(Pi/2) 为 Sqrt(3)/2 = x，sin(pi/2) 为 1/2 = y .

换句话说，如果你知道向量，你已经从正弦和余弦的定义中知道了它与 x 轴的夹角的正弦和余弦：

cos a = x/s
sin a = y/s where s = || [x, y] ||, is the length of the vector.

Answer 3

我的问题如此明显，以至于我不敢相信我没有看到它。当我检查Math.acos 的域 时，我根本没有检查范围！当向量超出范围（[0,PI]）时，就会出现问题。这是我为修复它所做的：

math.alignToX = function(V) {
    var theta = -math.angleBetween([1,0], V);
    var R = [[Math.cos(theta), -Math.sin(theta)],
             [Math.sin(theta), Math.cos(theta)]];
    var result = numeric.dot(R, V);
    if(Math.abs(result[1]) < ZERO_THRESHOLD) {
        return result;
    } else {
        V = numeric.dot([[-1, 0], [0, -1]], V); // rotate by PI
        theta = -math.angleBetween([1,0], V);
        R = [[Math.cos(theta), -Math.sin(theta)],
             [Math.sin(theta), Math.cos(theta)]];
        result = numeric.dot(R, V);
        if(Math.abs(result[1]) < ZERO_THRESHOLD) {
            return result;
        } else {
            throw "Unable to align " + V; // still don't trust it 100%
        }
    }
};

对于我上面给出的破碎示例，这会产生：

[162.10041088743887, 2.842170943040401e-14]

这个结果的 Y 坐标明显小于我的 ZERO_THRESHOLD (1e-10)。我几乎为自己解决了它而感到难过，但如果我不在这里发布，我认为我不会这么快就完成了。我在检查帖子是否有错别字时发现了问题。