Matlab：sign（）函数的傅立叶系数正在振荡

Question

我正在编写一个接收时变信号并返回 FFT 的函数。它遵循 Matlab 文档：

• https://www.mathworks.com/help/matlab/math/fourier-transforms.html
• https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/fftshift.html

它适用于非常简单的正弦曲线总和。

对于其他模拟信号，例如阶跃函数，我最终得到了一些 fubar，它以类似锯齿的方式振荡。这是一个使用重载阶跃函数的最小示例，它绘制了 FFT 权重的虚部：

%Create and plot sign function 
Fs = 1000;
dt = 1/Fs;
tvals = -1: dt: 1-dt;
yvals = sign(tvals); %don't use heaviside() it is very slow

subplot(2,1,1);
    plot(tvals, yvals, 'k', 'LineWidth', 2); hold on; 
    axis([-1 1 -1.1 1.1]);

%Calculate center-shifted FFT and plot imaginary part
fftInitial = fft(yvals);
n = length(fftInitial);
dF = Fs/n;
frequenciesShifted = -Fs/2: dF: Fs/2-dF;  %zero-centered frequency range
fftShifted = fftshift(fftInitial/length(yvals));

subplot(2,1,2);
plot(frequenciesShifted, imag(fftShifted), 'b', 'LineWidth', 2);hold on
xlim([-8 8])

这是结果图：

请注意，已知的虚构解决方案是 2/jw 或 j(-2/w)。

请注意，除了锯齿，这是我最关心的问题，这些权重的 包络 似乎并没有遵循这一点。它实际上似乎围绕原点翻转。不知道我在这里做错了什么组合。

根据一些有用的反馈，人们指出了这个问题：
Analytical Fourier transform vs FFT of functions in Matlab

特别是，在时间数组中不包含零可能会导致问题，这是那里的主要问题。我的代码中的时间数组包含一个零，所以它看起来不像是重复的。我通过时移步骤将我的零推到了数组的前面（尽管坦率地说，我已经做了很多 fft() 没有这样做，而且它们看起来都很好，所以我不认为这是问题所在，但是我现在只想将其作为一个问题删除）。所以我们最终得到：

Fs = 1000;
dt = 1/Fs;
tvals = 0: dt: 2-dt;
yvals = sign(tvals-1); %don't use heaviside() it is very slow
zeroInd = find(yvals == 1, 1, 'first');
yvals(zeroInd-1) =0;
%Calculate center-shifted FFT and plot imaginary part
fftInitial = fft(yvals);
n = length(fftInitial);
dF = Fs/n;
frequenciesShifted = -Fs/2: dF: Fs/2-dF;  %zero-centered frequency range
fftShifted = fftshift(fftInitial/length(yvals));

%Plot stuff
subplot(2,1,1);
plot(tvals, yvals, 'k', 'LineWidth', 2); hold on; 
axis([0 2 -1.1 1.1]);  
subplot(2,1,2);
plot(frequenciesShifted, imag(fftShifted), 'b', 'LineWidth', 2);hold on
xlim([-8 8])
grid on;

我仍然得到相同的曲折功能和相同的错误信封。所以，虽然我确实看到我的问题和那个问题密切相关，但我不确定它们是否重复。而且我真的很想能够画出这些组件的值的中途合理的外观图（我确实处理了一些基本上是阶跃函数的生理信号（与我的相比，它们移动非常快）测量仪器，所以这对我来说不仅仅是一个学术练习）。

Answer 1

你的代码有两个问题：

1. DFT（FFT 算法计算 DFT）将原点设为最左边的 bin。创建yvals 使得原点位于中间会导致输出频谱成为偏移其长度一半的信号的频谱。这会导致非常高频的振荡。解决方法是在调用fft 之前 对输入数据使用ifftshift。查看更多in this other question

2. DFT 假设（可以解释为假设）输入信号是周期性的。这导致了第二次大跳跃。基本上，您的信号看起来像一个移位的框函数，因此您的变换看起来像一个修改相位的 sinc 函数。解决方案是在调用fft 之前 对您的输入应用一个窗口函数。参见例如this other question。

修改你的代码如下：

yvals = sign(tvals);
yvals = yvals .* hanning(numel(yvals), 'periodic').'; % Apply windowing function

% ...

fftInitial = fft(ifftshift(yvals)); % Shift signal before calling FFT

这是您的代码现在给出的输出：